Teoría de catástrofes

Puntos de bifurcación

“La gota que derrama el vaso” podría ser un buen eslogan para la Teoría de Catástrofes. La tensión superficial hace que, cuando un vaso está a punto de rebosar, el líquido adopte una forma esferoidal de geometría perfecta. Pero hay un momento en el que una sola gota más provoca que toda la estructura se rompa y se vuelva caótica. Algo semejante sucede cuando se estiran los dos extremos de una goma elástica: ejerciendo una fuerza continua llega un momento en que, de forma casi imperceptible, la goma pierde su elasticidad. No hemos hecho intervenir ninguna otra causa externa que no sea la fuerza ejercida, pero ha sucedido un cambio profundo en el interior de la goma, un cambio cualitativo que además, se ha presentado de forma abrupta. Se dice que, en ese instante, el proceso ha pasado por un punto de bifurcación, algo que acontece cuando un sistema pasa de ser estable a ser inestable, momento en el que dicho sistema busca de nuevo otro estado estable. Una catástrofe se puede definir, en líneas generales, como una bifurcación entre diferentes estados de equilibrio.

Una catástrofe sonora

Si se presiona contra una superficie una pequeña lamina cóncava de metal podremos observar (y oír) el momento en el que se alcanza el punto de bifurcación. En ese instante la lámina pasa de cóncava a convexa emitiendo un claro clic (existe un antiguo juguete, la ranita “clic-clac”, basado en este fenómeno).

 

Es interesante poner de manifiesto dos aspectos fundamentales en el proceso que desencadena la catástrofe. Primero, un parámetro de control, que en este caso es la fuerza continuada que ejercemos sobre la lámina, y el segundo es el cambio repentino en la naturaleza del objeto.

René Thom

El matemático francés René Thom (1923-2002) introdujo, en el estudio de los puntos de bifurcación, un elemento revolucionario al construir modelos matemáticos que permitían estudiar la evolución de los estados internos de un sistema, que dependía de parámetros que varían de forma continua y en los que se producía un brusco cambio cualitativo. Su tratamiento, puramente matemático, introdujo importantes innovaciones en el campo de la Topología, trabajos por los que, en 1958, le fue concedida la Medalla Fields. Thom hizo una catalogación en siete catástrofes elementales, cada una de las cuales tiene una representación geométrica determinada por su respectiva ecuación matemática. En función de las formas que éstas adquirían las llamó pliegue, cúspide, cola de milano, mariposa, ombligo hiperbólico, ombligo elíptico y ombligo parabólico. Actualmente, la Teoría de Catástrofes es una rama de una teoría más amplia llamada Teoría de Sistemas Dinámicos. Sin embargo, el matemático galo no publicó su primer trabajo sobre la Teoría de Catástrofes en una revista de matemáticas, sino en un libro de biología: Towards a theoretical biology III (Hacia una biología teórica III). El artista español Salvador Dalí dijo una vez de Thom: “No es posible encontrar una noción más estética que la reciente Teoría de las Catástrofes de René Thom, que se aplica tanto a la geometría del ombligo parabólico como a la deriva de los continentes”.

La cúspide

La cúspide es una de las siete catástrofes elementales definidas por Thom y tiene por ecuación

Su representación espacial es la de una superficie como la de la figura

en la que aparecen bien diferenciadas tres zonas, que hemos señalado con las letras A, B y C y que representan, respectivamente, las zonas estable, inestable y catastrófica.

No es difícil comprender el significado de estos adjetivos si nos imaginamos que esta superficie se corresponde con un determinado paisaje de montaña por el que estamos realizando una excursión. En la zona A podemos tumbarnos tranquilamente a hacer una siesta. En la zona B también, aunque a riesgo de deslizarnos pendiente abajo. En la zona C, simplemente nos podemos romper la crisma.

Máquina de catástrofes

La siguiente figura representa un pequeño juguete que inventó el matemático danés E. C. Zeeman (1925-), para explicar la Teoría de Catástrofes y al que llamó la Máquina de Catástrofes.

 

Consiste en un círculo que puede girar libremente alrededor de su centro. Una goma elástica tiene un extremo A fijo y el otro sujeto a un punto P del disco, al que también se encuentra sujeta otra goma elástica cuyo extremo libre B puede variar de posición. Es sumamente interesante poder experimentar con este sencillo juguete, estudiar lo que sucede cuando se cambia la posición del punto B y adentrarnos en los misterios de la Teoría de Catástrofes (aunque no hay que olvidar que se trata de un juguete teórico). El hecho es que E. C. Zeeman, que tuvo una enorme influencia en el desarrollo de los trabajos de R. Thom, publicó en 1972 un trabajo en el que, entre otras cosas, describía su dispositivo teórico: la Máquina de Catástrofes. Fue en esta publicación cuando se empleó por primera vez el término Teoría de Catástrofes. Thom, originalmente lo había bautizado como Teoría de Singularidades, un término menos descriptivo, pero mucho más matemático.

Para todos los públicos
A caballo entre el final del bachillerato y el principio de carrera
Para matemáticos adictos a la cafeína.

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