Matemáticas de la democracia

“Parece que las matemáticas se han confabulado contra mi estado. ¡Dios os guarde, estado de Maine, si caéis en manos de las matemáticas!”, estas palabras, con tintes de lamento desesperado, fueron pronunciadas por un representante del estado de Maine. En 1901 el Congreso de los EE.UU. asignó una cámara con 357 escaños. Se dio la paradoja de que a algunos estados, como el de Alabama accedía a 8 escaños en una cámara de 299, pero sólo a 7 en una de 300. Algo parecido le sucedió al estado de Maine o al de Colorado, que le tocaron 2 escaños, pero hubieran tenido tres si el número, en vez de ser 357, hubiera sido cualquier otro entre el 350 y el 400. Paradojas como esta, conocida desde entonces como la paradoja de Alabama, pueden y suelen darse en los diferentes sistemas electorales. En los días posteriores a una elecciones, la prensa se explaya en todo tipo de análisis que tratan de explicar las razones políticas y sociales de resultados aparentemente desconcertantes, gracias los cuales en una autonomía un partido obtiene la presidencia con menos votos que la oposición o los entresijos numéricos de coaliciones que fracasan inexplicablemente en su intento de obtener la mayoría. En todos estos casos no se tienen en cuenta muchos de los aspectos matemáticos que están detrás de los diferentes sistemas electorales. La fórmula para convertir votos en escaños tiene a menudo efectos políticos decisivos. La primera cuestión que puede llamar la atención es que, en la mayoría de los casos, la asignación de los escaños no es proporcional al número de votos que obtiene un partido.

Una repartición “justa”

Supongamos que se tienen cuatro candidaturas, ABC y D a las que los electores han otorgado un número concreto de votos para obtener 14 escaños en un parlamento.

 

Candidatura Votos
A 92.314
B 58.310
C 21.830
D 14.970

 

La primera regla electoral que se nos ocurre para repartir los escaños entre las candidaturas es dividir el número de votos de la candidatura por el número total de votos, que en el caso de la candidatura A sería 92.314/187.424 = 0, 49 y multiplicarlo por el número de escaños con lo que la candidatura A obtendría 6,89 escaños. Haciendo el mismo cálculo con el resto de candidaturas tendríamos:

A: 6,89 escaños; B: 4,35 escaños; C: 1,63 escaños D: 1,11 escaños

Está claro que este sería un buen sistema para repartir proporcionalmente los escaños disponibles en función de los votos obtenidos, pero también está claro que no se pueden asignar valores fraccionarios de escaño, por lo que hay que encontrar la manera de ajustar estos decimales. Hay quien podría pensar que 6,89 lo podríamos dejar en, por ejemplo, 7 y 1,11 en 1. Pero como no se trata de ajustar el precio del kilo de patatas, sino el del poder legislativo de un país, un “redondeo” de corte doméstico podría acarrear graves consecuencias sociales y políticas. No hay más remedio que resolver el problema mediante algún tipo de herramienta matemática que no suscite discusión (o que suscite el mínimo número posible). En matemáticas, el primer requisito para poder resolver un problema es tener un buen planteamiento, lo cual no siempre es fácil.

Planteamiento del problema

Si pudiéramos comprar los escaños con dinero, para saber lo que vale cada escaño dividiríamos el dinero que hemos pagado por el número de escaños que hemos obtenido, pero tratándose de elecciones en vez de dinero hablamos de votos. Supongamos que a la candidatura A le asignamos 7 escaños. El número de votos dividido por el número de escaños 92.314/7 = 13187,71 nos da el “precio” del escaño en votos. O sea que a la candidatura A cada escaño le ha costado 13187,71 votos. El conjunto de todos los preciso posibles por escaño está, empleando una terminología matemática, “acotado superiormente”, lo que en lenguaje llano quiere decir que siempre hay un precio máximo que no puede ser superado y que, en nuestro caso, es número total de votos dividido por el número total de escaños187.424/14 = 13387,42 Este último sería el precio para una candidatura a la que hubiera votado todo el mundo. Un buen sistema de reparto será entonces aquel que consiga uniformar los precios. Se trata pues de encontrar 4 números enteros, cada uno de los cuales se corresponde con los escaños que recibirá cada candidatura, cuya suma sea 14 y con una condición que en matemáticas se llama “función objetivo”. En nuestro caso este objetivo es encontrar el valor óptimo de esta función, con la condición de que el precio por escaño sea mínimo para cada candidatura. Este problema, cuya formulación matemática obviamos, pertenece al rango de problemas llamados de programación entera, una clase de problemas que distan mucho de ser sencillos.

Existe una gran variedad de soluciones para este problema y cada una de ellas define un sistema electoral propio. Como es de esperar, ninguna de ellos es perfecto. Las diferencias entre un sistema y otro son pequeñas, pero la literatura alabando las excelencias de unos o criticando los defectos de otros es muy abundante. En cualquier caso, hay que tener en cuenta que, una vez establecidos los distintos algoritmos que definirán el sistema electoral, no existe ningún criterio, en términos de “justicia”, que pueda que pueda apoyar a unos u otros con un mínimo de sentido, o en cualquier caso, ese sentido había que buscarlo fuera del ámbito estrictamente matemático..

La ley de d’Hondt

En España, así como en otros países como Portugal y Finlandia, se optó por la ley de d’Hondt, propuesta en 1878 por el jurista belga Victor d’Hondt, aunque el sistema ya lo había inventado antes Thomas Jefferson. Este método provee de un algoritmo para asignar escaños. En este contexto, un algoritmo quiere decir que la persona que, datos en mano, debe asignar los escaños, dispone de una regla sencilla para hacerlo y puede olvidarse por completo de toda la parafernalia matemática que se esconde detrás del algoritmo.

Se construye una tabla en la que en la primera columna se colocan las candidaturas y en la siguiente el número de votos que cada una de ellas ha obtenido en las elecciones. A la candidatura que haya obtenido más votos se le adjudica el primer escaño, lo que se simboliza poniendo un asterisco al lado del número de votos.

 

V
A 92.314*
B 58.310
C 21.830
D 14.970

 

Acto seguido este número de votos se divide por dos y se coloca en la siguiente columna

 

V V/2
A 92.314* 46157
B 58.310
C 21.830
D 14.970

 

Ahora entre los números que no tienen asterisco tomamos el más grande, que corresponde a la candidatura B, le adjudicamos un escaño (*) y lo pasamos a la segunda columna dividiéndolo por dos

 

V V/2
A 92.314* 46157
B 58.310* 29155
C 21.830
D 14.970

 

En el siguiente paso vemos que la candidatura con más votos (de las que no tienen asterisco) vuelve a ser la A con 46.157 votos. Le adjudicamos un escaño y la pasamos a la tercera columna. Aquí hay que prestar atención: pasar a la tercera columna significa dividir el número de votos del principio por tres, es decir: 92.314/3 = 30771

 

V V/2 V/3
A 92.314* 46157* 30771
B 58.310* 29155
C 21.830
D 14.970

 

O sea que siempre que se adjudica un escaño a una candidatura se rellena la columna siguiente dividiendo el número de votos originales por el número de la columna, por 2 si es la segunda columna, por 3 si es en la tercera, etc. El proceso se repite hasta que queden adjudicados los 14 escaños

 

V V/2 V/3 V/4 V/5 V/6 V/7 Nº escaños
A 92.314* 46157* 30771* 23079* 18463* 15386* 13188* 7
B 58.310* 29155* 19437* 14578* 11662* 5
C 21.830* 10915 1
D 14.970* 7485 1

 

Las objeciones que suelen hacerse a la leyLey de D´Hondt giran en torno al hecho de que el número de escaños para las candidaturas con pocos votos se reducen de forma drástica y que es, por tanto, es un sistema que favorece a los partidos más votados y desfavorece a los partidos menos votados, lo que trae como consecuencia que los electores se acomodan y optan por los partidos grandes bajo la hipótesis del “voto útil”.

Teorema de la imposibilidad de Arrow

Arrow, Kenneth Joseph (1921- ), economista estadounidense, premio Nobel de Ciencias Económicas en 1972 (compartido con sir John Richard Hicks) estableció una configuración social de preferencias y demostró que fuera cual fuera el procedimiento de votación que se adoptara, ninguno podría satisfacerlas a todas. En parte el teorema se basa en que el número de personas que forman el conjunto social a que se aplica es finito, algo que no tiene visos de cambiar en el futuro. En su versión original, que no incluimos aquí porque sería demasiado farragoso explicar los términos que aparecen en ella, el enunciado del teorema afirma que el único sistema que cumple todos los requisitos es la dictadura. Como lo que se busca es una solución democrática, se concluye que el problema no tiene solución. En general, los teoremas de imposibilidad tienen algo de fatídico, ya que imponen ciertos límites al pensamiento humano, pero también tienen la ventaja de cerrar definitivamente las puertas que dan acceso a caminos absolutamente estériles. Si a una ciencia de la solidez de las matemáticas le llegó su “San Martín” con el teorema de Gödel (sobre la imposibilidad de demostrar la consistencia de la lógica matemática) cómo no le iba a tocar el turno a las Ciencias Sociales y Políticas, en las que el margen de “opinabilidad” es todavía tan superior al de “demostrabilidad”.

 

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