Límites y continuidad

Una función es algo que casi siempre puede asociarse a una gráfica, es decir, a un dibujo en el que hay un par de ejes perpendiculares sobre los que aparece representada algún tipo de línea. Cuando dicha línea presenta un trazo continuo hablamos de una función continua y, en caso contrario, de una función que no es continua. Esta es probablemente la definición más intuitiva que se puede dar de continuidad de una función: una función continua es aquélla que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Como sería el caso de la función:

Según este mismo criterio, no sería continua la función:

Matemáticamente hablando, lo que hemos dado no es ni siquiera una definición. Es más, si tenemos en cuenta que un punto es una figura que carece de dimensiones, podríamos tener problemas para decidir si una función a la que sólo le falta un punto es o no es continua. Y es que el concepto de continuidad requiere previamente haber establecido el de límite de una función en un punto, un concepto altamente preciso y de difícil comprensión. Si existe una frontera entre las Matemáticas Elementales y las Superiores, la definición de límite funcional se encuentra sin duda alguna dentro de su demarcación.

Límite funcional

Observemos detenidamente la siguiente función f.

¿Qué pasa con el punto e? Está claro que no se puede obtener como imagen de ningún punto, pero sí podemos acceder a él mediante la propia función f. Intentemos visualizar el siguiente proceso: nos situamos en el eje de las X a la izquierda del punto b y vamos avanzando hacia dicha posición. Lo hacemos imaginando que en cada punto trazamos la correspondiente vertical y horizontal para encontrar las imágenes. Está claro que conforme vayamos tomando puntos cada vez más próximos a b, tendremos una sucesión de imágenes que se irán aproximando a d (puntos en el eje Y que subirán hacia d).

En el momento en que finalicemos nuestro recorrido exactamente en el punto b, la sucesión de imágenes se detendrá en el punto d. Ahora hagamos lo mismo, pero por la derecha de b. Conforme nos vayamos aproximando a este punto, una sucesión de imágenes se irá acercando a e (puntos en el eje Y que irán “bajando” hacia e).
¿Qué sucede cuando en nuestro recorrido por el eje X llegamos al punto b? Está claro que no podemos afirmar que la sucesión de imágenes que descendía por el eje Y termina en e, ya que este no es imagen de b (recordemos que f(b) = d). Pero lo que si podemos afirmar es que la sucesión de imágenes se puede acercar por arriba a e tanto como queramos. Avancemos algunos conceptos teóricos importantes. Diremos que el límite de la función f cuando x tiende a b por la izquierda es d y que el límite de la función f cuando x tiende a b por la derecha es e. Lo escribiremos de la siguiente forma:

$$lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=b$$

$$lim_{x\rightarrow b^{+}}f(x)=e$$

¿Qué sucede en el caso de tener un pinto como el a? pues que si tanto si nos acercamos por la derecha como por la izquierda el valor de la función en el punto es d. En este caso escribimos simplemente que

$$lim_{x\rightarrow a}f(x)=c$$

Se dice que el límite de una función en un punto existe cuando existen ambos límites laterales y coinciden.

Definición épsilon-delta

Hasta aquí todo ha sido un paseo gráfico por los conceptos de límite y continuidad. Sin duda, puede haber alguien que afirme que esto no son Matemáticas, ya que los “dibujitos” no demuestran nada, por muy cuidadosamente que se hagan. Es cierto que no hemos dado ninguna definición rigurosa de lo que es un límite funcional, pero tampoco sería en absoluto cierto afirmar que esto no son Matemáticas. Lo son en parte. Y precisamente en una de sus partes más importantes, que es la que atañe a la intuición, sin la cual las Matemáticas pueden llegar a ser muy aburridas y, en algunos casos, estériles.

La definición rigurosa de continuidad de una función en un punto es la siguiente:

Ésta es la definición conocida como “épsilon-delta” y forma parte de un tipo de demostraciones denominadas coloquialmente como “epsilónicas”, tan temidas por aquéllos que no las dominan y  que se ven obligados a hacer uso de ellas para superar exámenes, ya que, como dice el matemático inglés Ian Stewart: “es el procedimiento que utiliza el gremio para curtir a los aprendices”.

Función continua

Para que una función f sea continua en un punto a deben cumplirse tres condiciones:

1º La función debe estar definida en el punto a

2º Debe existir el límite de la función en el punto

3º Dicho límite debe coincidir con el valor de la función en el punto

$$lim_{x \to a}f(x)=f(a)$$

De manera que una función no es continua en un punto porque deja de cumplir una, dos o las tres condiciones anteriores. Esto, de hecho, constituye un criterio para clasificar discontinuidades.

Historia

Los conceptos de límite y continuidad tuvieron una andadura larga y dificultosa. Hasta el siglo XIX se estuvo trabajando con una clase especial de números infinitamente pequeños o infinitamente grandes que no permitían establecer reglas claras.

B. Bolzano (1781-1848) fue quien dio una primera definición de continuidad en un trabajo publicado en 1817, en el que aparecía la frase “tan pequeño como se desee” que, aun teniendo más de expresión literaria que de matemática, ya contenía la esencia de un punto que se aproxima infinitamente a otro. También Cauchy publicó en 1821 un trabajo en el que empleaba este mismo concepto para definir los límites y la continuidad de una función, expresándola con claridad al afirmar que “la función f(x) permanecerá continua con respecto a x entre los dos limites dados si un incremento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un incremento infinitamente pequeño de la función misma”.

Pero sería Weirstrasse el que definiría con toda precisión lo que era el límite de una función, prácticamente en los mismos términos en los que se define actualmente. Para ello abandonó el concepto de cantidades que se van haciendo cada vez más grandes o más pequeñas y, con ello, de ideas asociadas a cualquier tipo de movimiento. Eliminó así mismo la práctica de despreciar cantidades pequeñas o de considerar puntos que se mueven sobre una curva, como hemos estado haciendo nosotros para dar una mayor claridad a la exposición.

Fue precisamente Weirstrasse quien estableció la definición “épsilon- delta”, aunque originalmente, Weirstrasse utilizaba la letra η en vez de la ε, que ha acabado por imponerse en todos los textos modernos. Con esta nueva definición “fría, precisa y estática”, como la califica el historiador de las matemáticas C. B. Boyer, Weirstrasse abrió las puertas a una nueva forma de hacer análisis que se conoce históricamente como la aritmetización del análisis.

Una función peculiar

Construir una función que sea continua en todos sus puntos excepto en uno es muy sencillo. Basta con “quitarle” o “desplazarle” un punto a cualquier función continua. Lo que ya no parece tan sencillo es hacer justamente lo contrario, construir una función que no sea continua en ninguna parte, excepto en un punto. Veamos cómo se hace.

La función f(x) = x es una recta, concretamente la bisectriz del primer cuadrante. Si buscamos imágenes por el sistema de trazar perpendiculares y paralelas veremos que la imagen de un punto cualquiera del eje X es la misma en el eje Y: f(1) = 1; f(2) = 2, etc.

Está claro que se trata de una función que es continua en cualquiera de sus puntos (entre otras cosas, no hay que levantar el lápiz del papel para dibujarla). Vamos ahora a quitarle unos cuantos puntos para que deje de ser continua. Recordemos que los números reales pueden ser clasificados en racionales e irracionales; los primeros son los que se pueden obtener como cociente de dos enteros, y los segundos no. Por ejemplo, 2/3 es un número racional y no lo es. Definamos ahora la siguiente función:

f(x) = x si x es racional

f(x) = 0 si x es irracional

La nueva función así definida no es continua en ningún punto, ya que carece de límite. No es que no se pueda dibujar sin levantar el lápiz del papel, simplemente no se puede dibujar de ninguna manera ya que junto a cada punto que está en la recta hay otro que está en el eje X. Sin embargo sí tiene límite en el punto cero y vale cero, coincidiendo con el valor de la función en dicho punto. Se trata pues de una extraña función que sólo es continua en un punto.

Funciones y pantallas de ordenador

La continuidad, o mejor dicho la falta de continuidad, se convierte en un problema real cuando las funciones se representan en la pantalla de un ordenador, ya que ésta no es una superficie continua en el sentido gráfico del término. La pantalla está formada por un conjunto de píxeles que determinan lo que se llama la resolución de la imagen. Dicha resolución se mide en el nº de píxeles por unidad de longitud (ppi: píxeles por pulgada).

Aunque las resoluciones de pantalla sean altas, se comprende que no pueden ser infinitas y que, por tanto, el plano que forma la pantalla no puede estar formado por un medio continuo sino discreto. Esto tiene como consecuencia que cualquier gráfica que venga representada en la pantalla de un ordenador no puede ser nunca continua: entre dos píxeles de una misma curva puede haber un vacío, dándose la paradoja de que, por ejemplo, dos rectas se corten en un punto de la pantalla en el que no haya ningún píxel.

Esto, lejos de ser una simple sutileza matemática, constituye, en algunos casos, un serio problema. Para abordarlo, el matemático norteamericano A. Robison introdujo en 1961 una nueva teoría llamada Análisis no Convencional, una teoría en la que no se cumple casi nada de lo que hemos expuesto antes.

Para todos los públicos
A caballo entre el final del bachillerato y el principio de carrera
Para matemáticos adictos a la cafeína.

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