Matemáticas de la navegación

Puntos y líneas imaginarios

Tras la aceptación de algunos hechos que admitimos como “reales”, como son que la Tierra tiene forma esferoidal, que gira sobre si misma y que a su vez, como el resto de planetas del Sistema Solar, describe una órbita elíptica alrededor del Sol, se definen sobre la esfera terrestre una serie de puntos y líneas imaginarios que nos permiten establecer cálculos y sistemas de referencia. Así, hablamos de eje de la Tierra para referirnos a una línea imaginaria alrededor de la cual gira nuestra planeta y en cuyos extremos definimos dos puntos a los que damos los nombres de Polo Norte y Polo Sur. El círculo máximo perpendicular a este eje dibuja la línea del ecuador. Con este esquema la Tierra queda dividida en dos hemisferio, el hemisferio Norte y el hemisferio Sur. A continuación se definen los paralelos, que son círculos menores “paralelos” al círculo del ecuador. ¿Cuántos paralelos hay? Pues tantos como queramos. Para indicar un paralelo basta con especificar a cuantos grados se encuentra por encima o por debajo del ecuador. Hay cuatro de ellos que reciben nombre especiales, que son el trópico de Cáncer, situado a 23º 27’ por encima del ecuador, el trópico de Capricornio, también a 23º 27’, pero por debajo del ecuador, el círculo polar ártico a 23º 27’ del Polo Norte y el círculo polar antártico, a 23º 27’ por encima del Polo Sur. Esta medida de arco, 23º 27’, no es caprichosa, sino que es precisamente la inclinación que tiene el ecuador con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol y que, además, es determinante en cuanto a la climatología, de manera que quedan establecidas una zona tórrida, dos templadas y dos zonas glaciares.

Un meridiano es cualquier círculo máximo que pase por los polos. Son, por tanto, perpendiculares al ecuador. También hay tantos meridianos como se quieran dibujar, aunque dos de ellos reciben nombre especiales, el meridiano del lugar, que es el que pasa por el punto en el que se encuentra el observador y el primer meridiano, que es el que se toma como origen o meridiano cero.

Latitud y longitud

Para determinar la situación de un punto sobre la superficie terrestre, bien sea en tierra o en el mar, se utilizan las llamadas coordenadas geográficas (como se trata de una superficie bastarán con dos coordenadas) que reciben los nombres de latitud y longitud. Para comprender mejor su definición, supongamos que estamos en un barco situado en un cierto punto P del Atlántico, por el que pasará el que hemos llamado meridiano del lugar. La latitud se define como el arco de dicho meridiano contado desde el ecuador hasta el punto P. Se habla de latitud norte cuando el punto P está por encima del ecuador y de latitud sur cuando está por debajo (habitualmente, los valores de esta última se consideran negativas). La determinación de la latitud no ha representado nunca un serio problema para los navegantes, ya que se puede llevar a cabo mediante observaciones relativamente sencillas. La longitud se define como el arco de ecuador que va desde el primer meridiano o meridiano cero de referencia, hasta el meridiano del lugar. La longitud puede ser Este u Oeste, según se encuentre respectivamente a la izquierda o a la derecha del primer meridiano. Los valores de longitud en este último caso también se acostumbran a dar como negativas.

Es muy importante resaltar el hecho de que, así como nadie discute cual es la ubicación del ecuador, ya que viene dado de forma natural, no sucede lo mismo con el primer meridiano, cuya identificación es totalmente arbitraria. Una buena prueba de ellos es la larga lista de meridianos cero que, a lo largo de la historia, han merecido este título: empezando por el de las islas Afortunadas, instaurado por Ptolomeo, y posteriormente los que pasaron por las Azores, Cabo Verde, Roma, Copenhague, Jerusalén, San Petersburgo, Pisa, París, Filadelfia y Londres, que es donde se sitúa en la actualidad, concretamente en el Observatorio de Greenwich. La decisión se tomó en 1884, cuando se celebró en Washington el Congreso Internacional del Meridiano. En dicho encuentro quedó establecido, por un acuerdo entre 26 países, que el meridiano de Greenwich sería el meridiano cero, o primer meridiano, y que sería tomado como referencia para los husos horarios de todo el mundo. A pesar de esto los franceses siguieron tomando como primer meridiano el que pasaba por el Observatorio de París hasta finales de 1911.

Longitud

Para el cálculo de la longitud hay que tener en cuenta que la Tierra da una vuelta completa sobre si misma en 24 horas, que es, por tanto el tiempo que tarda un punto de la misma en recorrer 360º. Si hacemos la división 360/24 = 15º, vemos que por cada hora de diferencia que hay entre el meridiano de Greenwich y el meridiano del lugar se han recorrido 15º de longitud. Por lo tanto, la manera de determinar la longitud es, teóricamente, muy sencilla: basta con conocer la diferencia horaria entre el meridiano cero y el meridiano del lugar en el que se encuentra el barco.

Veamos un ejemplo. Supongamos, para simplificar, que un barco parte de un lugar situado en el meridiano cero. En el momento de zarpar sincroniza el reloj de abordo con la hora de dicho meridiano. Supongamos que, después de un errático viaje de varias semanas, en medio de fuertes tempestades, llega la calma y aparece un cielo despejado de nubes, que permite hacer una medición cuando el sol se encuentra en el punto más alto. La hora local es, por tanto, las 12 del mediodía. Comprobamos el reloj que marca la hora del primer meridiano y observamos que allí son las 10. Sin ninguna duda el barco se encuentra a 30º longitud oeste, ya que le separan 2 horas de más (2·15º = 30º) del meridiano de referencia.

Pero, desgraciadamente, el reloj de abordo es de péndulo y con los fuertes balanceos del barco se ha adelantado, retrasado o incluso ha llegado a pararse. Esto por no mencionar las contracciones y dilataciones que ha sufrido debido a los bruscos cambios de temperatura o de la influencia de la presión atmosférica y, en menor medida, de los sutiles cambios del campo gravitatorio de pueden alterar el período de oscilación. Si a esto le añadimos que un error de pocos minutos pueden llegar a suponer, en según que latitudes, un centenar de kilómetros, la situación de los navegantes era, en este sentido, muy precaria: para una misma longitud, los trayectos recorridos a diferentes latitudes pueden ser desde muy largos, cerca del ecuador, a muy cortos, cerca de los polos.

Relojeros insignes

Dos eran los caminos que podían llevar a la solución del problema de la determinación de la longitud. La primera, que podríamos considerar de talante más científico, era la posibilidad de determinar la hora mediante la observación directa del cielo, tarea que quedó encomendada a astrónomos y matemáticos. La segunda, de carácter técnico, era la construcción de un reloj capaz de marcar la hora con exactitud en las condiciones más desfavorables. Astrónomos de la categoría de Galileo, Halley o el mismo Newton emprendieron el primero de estos caminos sin llegar a ningún resultado satisfactorio. Nadie tenía la solución para resolver un grave problema que tenía como consecuencia de que los barcos perdieran su rumbo, alargaran excesivamente las travesías o se perdieran para siempre, con las consiguientes pérdidas en bienes y en vidas humanas. Los gobiernos establecieron todo tipo de recompensas para quien fuera capaz de resolver el problema, la más famosa y cuantiosa de las cuales fue la que estableció el Parlamento Británico en 1714 y que llevaba el nombre de Decreto de la Longitud.

Movimientos lunares

Uno de los primeros intentos serios que se hicieron para resolver el problema de la longitud mediante la observación directa de los movimientos planetarios fue el proyecto de Galileo en relación a los satélites de Júpiter. Sus eclipses, es decir la ocultación de alguna de estas lunas tras el planeta, ocurrían unas 1000 veces al año y Galileo creyó que, si se llevaban a cabo las suficientes observaciones se podrían construir tablas que sirvieran a los navegantes para determinar con precisión la longitud. Galileo diseñó una máscara especial de latón con un agujero en el que había un pequeño telescopio. La idea era que los navegantes se la pusieran y mediante el ojo que quedaba libre se localizara Júpiter y con el otro ojo adosado al telescopio se hiciera la observación pertinente de los eclipses de sus lunas, que permitirían la determinación de la hora. El artefacto, muy parecido a una cámara antigás de la Segunda Guerra Mundial, quedó bautizado con el nombre de cellatore. A pesar de que dedicó gran parte de su vida a estas observaciones, el método no resultó práctico, entre otras cosas porque Júpiter y sus lunas no eran visibles durante el día y sólo en cielos muy despejados durante la noche.

A través de los años, los astrónomos llegaron a la conclusión de que los únicos objetos celestes que podían servir como relojes eran el Sol, la Luna y las estrellas o, más exactamente, sus posiciones relativas: durante el día entre el Sol y la Luna y durante la noche entre la Luna y algunas estrellas fijas. Aunque acabaría por mostrarse como el más eficaz, este método planteó, desde el comienzo, serias dificultades. El movimiento aparente de la Luna es muy complejo y sufre, además una variación cada 18 años, por lo que sus observaciones debían registrarse en períodos que como mínimo abarcaran ese período de tiempo. Debía disponerse además de cartas del cielo en las que figuraran un número suficiente de estrellas, con sus posiciones relativas respecto a la Luna, en fechas concretas y en lugares que abarcaran los dos hemisferios. En muchos países se fundaron observatorios astronómicos con este único objetivo, se hicieron las observaciones pertinentes, se crearon e imprimieron tablas de las que podían disponer los navegantes, con lo que se llevó a cabo una de las primeras colaboraciones internacionales de la historia en un proyecto científico. Sólo faltaba un elemento para que el método pudiera llevarse a la práctica de una manera eficaz: un instrumento que hiciera posible la observación desde un buque en alta mar. Éste vino de la mano de dos inventores, John Hadley y Thomas Godfrey, quienes de forma independiente dieron con la solución al crear un ingenioso instrumento óptico, que recibió el nombre de octante, y que mediante un juego de espejos permitía la observación simultanea de dos objetos celestes. Más tarde este instrumento se perfeccionó adicionándole, entre otras mejoras, un horizonte artificial. Había nacido el sextante y se había resuelto el problema de la longitud.

Los cronómetros H

Paralelamente a esta carrera en la búsqueda de los relojes del cielo, un desconocido relojero, John Harrison (1693-1776) totalmente autodidacta y al que se puede calificar de genio sin ningún género de duda, había emprendido, en solitario, la construcción de un reloj que habría de marcar un auténtico hito en la historia de la relojería. Dedicó cinco años a la fabricación del primer reloj marino, el Harrison Nº 1, conocido como H-1. Pesaba 20 kilos y estaba resguardado por una vitrina cuadrada de cristal de 1,20 metros de lado. Llevaba engranajes de madera, carecía prácticamente de fricciones y, en duras condiciones de navegación, apenas retrasaba unos segundos al día (actualmente todavía está en funcionamiento en el Museo Marítimo Nacional de Londres). Era el año 1763 y había nacido el primer cronómetro de la historia. Sin embargo, uno de sus principales detractores fue el propio Harrison, quien decidió mejorarlo en una nueva versión, el H-2, de tamaño algo menor que el primero y que cumplió con creces todas las expectativas de un reloj marino. Aún así, Harrison inició la construcción del H-3, al que estuvo dedicado durante 19 años más, que incorporaba un péndulo de rejilla construido con dos materiales diferentes para compensar los cambios de temperatura y que introducía, por primera vez en la historia, cojinetes a bolas. Pesaba 27 kilos y tenía unas dimensiones de 0,30 x 0,30 x 0,60 m. A estas alturas, Harrison era merecedor con creces del premio de la longitud que, sin embargo, no le fue otorgado. Y es que en la guerra emprendida contra Harrison durante todos estos años, que, en algunos de sus episodios podría ser calificada de guerra sucia, estaban en juego intereses de mucho peso. El sistema de la determinación de la longitud por medios astronómicos requería de una importante financiación a nivel internacional, que podía quedar cuestionada con el invento de Harrison: el cálculo de la longitud mediante observaciones del cielo requería un tiempo no inferior a las tres horas de trabajo y el concurso de gente experta en cálculos matemáticos. En contrapartida, el reloj de Harrison lo podía utilizar cualquiera y proporcionaba una medida de la longitud muy precisa y casi al instante.

A pesar de todo, Harrison continuó perfeccionando su reloj hasta que en 1759 concluyó la que por fin consideró como su obra maestra, el H-4, conocida como la “Mona Lisa” de los relojes. Con un peso cercano al kilo y medio y un diámetro de 12,5 cm, fue el primer cronómetro marino de bolsillo. Por primera vez en la historia de la relojería, varios de los ejes de su mecanismo estaban encastados sobre diminutos diamantes y rubíes. Con el H-4, Harrison ganó el premio de la longitud.

Nota: La mayoría de datos de este artículo han sido extraídos del muy recomendable libro "Longitude" de Dava Sobel:

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