Las matemáticas de una hipoteca

Es habitual, aunque sea por ignorancia, que la gente asocie las Matemáticas con los números (hasta el siglo XIV se la asociaba básicamente con la Geometría), pero resulta paradójico el rechazo que, en occidente, existe por los números cuando se meten en el mismo paquete que las Matemáticas. Y es paradójico porque aquello que más valora la competitiva sociedad del bienestar es precisamente el dinero, un objeto que, en sí mismo, no tiene más valor que el de la dificultad que hay para reproducirlo y que, aunque esté cargado de todo tipo de significados, en ningún momento deja de estar indisolublemente vinculado a los números.

Los tantos por ciento

El dinero posee la extraña cualidad de reproducirse a sí mismo, algo que los economistas suelen negar con rotundidad. Pero visto de una manera un tanto superficial, el dinero aumenta o disminuye en virtud de una simple función aritmética que se llama interés, un sencillo concepto con el que el dinero inicia su andadura en el complejo mundo de las Matemáticas Financieras. Y no se puede hablar de intereses sin hablar de tantos por ciento, el más elemental de los cálculos financieros y con el que mucha gente tropieza nada más empezar. Por ejemplo, restar el 15 % (un tanto por ciento muy popular) de una determinada cantidad de dinero, como 1.000 euros, se puede calcular de la siguiente forma: el 10 % de 1.000 es 100, la mitad 50, luego el 15 % de 1.000 es 150, se lo resto a 1.000 y me quedan 850 euros, a los que se le añaden la palabra netos y asunto concluido. La cosa funciona y se puede hacer mentalmente hasta que aparece en nuestro horizonte la cantidad de 28.567,35 euros. No pasa nada, tampoco hay que ser un fenómeno de circo en el cálculo mental, se toma papel y lápiz y ya está. Si no pertenece al numeroso grupo de gente que padece “anumerismo crónico”, se consigue una calculadora y realiza la siguiente operación:

Luego hacemos la resta 28.567,35 – 4.285,1025 = 24.282,2475 euros.

Lo mismo se puede hacer mediante una sola operación, basta con multiplicar la cantidad inicial por 0,85:

28.567,35 · 0,85 = 24.282,2475

De forma que cuando quiera descontar de una cantidad dada un tanto por ciento basta con multiplicar dicha cantidad por el decimal que se obtiene al restar de cien el correspondiente tanto por ciento. Si es el 20 %, habrá que multiplicar por 0,80; si es el 50 %, por 0,50; si es el 65 %, por 0,35. Es muy sencillo y nos proporciona rápidamente la cantidad neta que precisamos.

En muchas operaciones financieras se utiliza el tanto por uno en lugar del tanto por ciento. Si se trata, por ejemplo, de un 10 %, quiere decir que de cada 100 tomamos 10, de cada 10 tomamos 1, luego de cada 1 debemos tomar 0,01 y éste es el tanto por uno. Si hubiéramos hablado de un 6 %, el tanto por uno serán 0,06, y así sucesivamente. Los tantos por uno tienen la ventaja de que nos proporcionan el tanto por ciento de una determinada cantidad por una simple multiplicación: el 6 % de 2.324 es:

2.324 · 0,06 = 139,44

Estos rudimentos no permiten a nadie moverse cómodamente en el mundo de las finanzas, pero sí pueden impedir que pase un cierto bochorno en circunstancias comprometidas. Se trata de operaciones simples que forman parte de nuestra vida cotidiana de las que mucha gente no sabe cómo salirse. Pensemos que todavía hay quien se hace razonamientos como este: Quiero cobrar una factura de 3.000 euros limpios. Como hacienda me descuenta el 15 % de IRPF y esto son 450 euros, lo que tengo que hacer es facturar 3.450 euros y ya está. En efecto, ya está, ya ha conseguido hacer el ridículo.

El debe y el haber

Hasta mediados del siglo XIV no existían los contables. Era frecuente que algunos mercaderes pasaran por largos períodos de tiempo en los que no podían saber con certeza si eran millonarios o estaban en la bancarrota. Todavía en el siglo XV, cuando ya había aparecido la figura del contable, era aceptado que las cuentas “se acercaran lo suficiente” a la realidad, ya que, a falta de un método racional de contabilidad, no había nadie capaz de cuadrarlas. Se dice de Luca Pacioli (1445-1517), uno de los matemáticos más importantes de la Italia de su época, que es el padre de la contabilidad por partida doble. Su obra Summa de Aritmética y Geometría, Proportiono et proportionalita, está considerada como uno de los compendios más importantes de la historia de las Matemáticas. En ella hay una parte (De computis et scripturis) que está dedicada a la contabilidad y en la que se explican las técnicas para la teneduría de libros por partida doble. La obra se publicó por primera vez en 1494, un siglo después se editaron versiones en italiano, holandés, alemán, francés e inglés, y posteriormente, en el siglo XIX, en alemán y ruso. La importancia histórica de esta obra queda puesta de manifiesto por el historiador Alfred W. Crosby cuando afirma que “en los últimos siete siglos la teneduría de libros ha hecho más para dar forma a las percepciones de las mentes más brillantes que cualquier innovación en la filosofía o en la ciencia”.

Como curiosidad, cabe destacar que una de las grandes novedades del libro de Pacioli era que la mayoría de los números que utilizaba estaban escritos en los modernos guarismos indo-arábigos. Aún así el libro contenía un apéndice en el que se ilustraba cómo contar de 1 a 9.000 utilizando el sistema tradicional de los dedos.

Hipoteca

Los números que intervienen en una hipoteca[1] no son excesivamente misteriosos, pero sí algo volubles, especialmente si la hipoteca se hace a un tipo de interés variable. Supongamos, por ejemplo, que alguien con una nómina de 3.000 euros mensuales quiere comprar un piso nuevo cuyo valor de mercado es de 300.000 euros. Lo máximo que el banco le prestará es el 80 % del valor del piso. Supongamos que decide suscribir una hipoteca en estas condiciones a pagar en un plazo de 30 años. Según esto, las condiciones de la hipoteca serán las siguientes[2]:

– Importe del préstamo: 240.000 euros.

– Plazo en años: 30.

– Cuota mensual primer año: 1.005,39 euros.

– Cuota mensual después del primer año: 968,17 euros.

– T.A.E.: 2,73 %

Una vez haya abonado los gastos correspondientes al Impuesto de Actos Jurídicos documentados, la comisión de apertura, la tasación, los gastos de notaría y de gestión de registro, lo que viene a sumar algo así como 5.300 euros, estará en condiciones de poder empezar a pagar la cuota mensual de 1.005,39 euros (un tercio de su sueldo) que, durante el primer año, le supondrán las siguientes cuotas de amortización:

 

Meses Cuota Cuota de amortización Importe intereses Capital pendiente de amortizar
1 1.005,39 415,39 590,00 239.584,61
2 1.005,39 416,41 588,98 239.168,20
3 1.005,39 417,43 587,96 238.750,77
4 1.005,39 418,46 586,93 238.332,31
5 1.005,39 419,49 585,90 237.912,82
6 1.005,39 420,52 584,87 237.492,30
7 1.005,39 421,55 583,84 237.070,75
8 1.005,39 422,59 582,80 236.648,16
9 1.005,39 423,63 581,76 236.224,53
10 1.005,39 424,67 580,72 235.799,86
11 1.005,39 425,72 579,67 235.374,14
12 1.005,39 426,76 578,63 234.947,38

 

De lo que se desprende que durante el primer año estará pagando un interés nominal del 2,45 %. Al finalizar el año habrá pagado un total de 12.064,68 euros, de los cuales sólo 5.052,62 euros han sido para pagar realmente el piso, el resto son los intereses que ha pagado a la entidad bancaria. Situación que irá mejorando con el paso del tiempo, hasta llegar a los últimos 12 meses, en los que la tabla se convertirá en:

 

349 968,17 942,88 25,29 10.511,02
350 968,17 944,96 23,21 9.566,06
351 968,17 947,04 21,13 8.619,02
352 968,17 949,14 19,03 7.669,88
353 968,17 951,23 16,94 6.718,65
354 968,17 953,33 14,84 5.765,32
355 968,17 955,44 12,73 4.809,88
356 968,17 957,55 10,62 3.852,33
357 968,17 959,66 8,51 2.892,67
358 968,17 961,78 6,39 1.930,89
359 968,17 963,91 4,26 966,98
360 969,12 966,98 2,14 0,00

 

Donde la diferencia entre la amortización y el pago de intereses le es totalmente favorable, algo que le sucederá a los 60 años si pidió la hipoteca cuando tenía 30, que es cuando se supone que tendrá una nómina estable que le permita solicitarla.

Los intereses se devengan diariamente, aunque la forma de pago, ya estipulada por el banco, suele ser mensual. La fórmula para calcular los intereses devengados es la siguiente:

Intereses = (capital x rédito x tiempo)/36000

Capital = saldo medio dispuesto durante el período de liquidación.

Rédito = tipo de interés nominal.

Tiempo = días correspondientes al período de liquidación (Un año puede tener 360 o 365 días, dependiendo de la institución bancaria).

La fórmula que utiliza la entidad bancaria para calcular las cuotas mensuales constantes es:

 

Donde  c0 es la cantidad que le presta el banco, r el tanto por uno de interés nominal, m el número de períodos de liquidación en un año (normalmente 12) y n el número total de períodos de liquidación. Pero si no quiere perder el tiempo introduciendo todos estos datos en una calculadora, piense que en el banco siempre le facilitará una tabla en la figuran las cuotas de amortización durante los treinta años que dura la hipoteca. De todas formas no se fíe demasiado, ya que la tabla sólo es válida para el primer año, ya que se trata de un tipo de interés variable.

[1] Hipoteca es una palabra que procede del griego y que significaba “acción o efecto de poner una cosa debajo de otra”.

[2] Datos extraídos de Bankinter en julio de 2003.

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