La paradoja de San Petersburgo

El “Juego de San Petersburgo” consiste en lanzar una moneda al aire tantas veces como sea necesario hasta que salga cara. Si ha salido cara en el primer lanzamiento el premio es de 2 euros, si ha sido en el segundo lanzamiento de 4 euros, en el tercero de 8 euros y en general si la primera cara sale en el lanzamiento n el premio es de 2n euros.

P(n) 

premio €

1

1/2

2

2

1/4

4

3

1/8

8

4

1/16

16

5

1/32

32

6

1/64

64

7

1/128

128

8

1/256

256

9

1/512

512

10

1/1024

1024

Si apostamos 10 € y nos sale cara en la segunda tirada habremos perdido 6 €. En cambio, si la primera cara nos sale en la cuarta jugada habremos ganado 6 €
¿Cuanto estaríamos dispuestos a pagar para entrar en el juego? Antes de contestar a la pregunta hay que tener en cuenta que al otro lado también hay alguien, ya sea otro jugador o la banca, que también tiene su opinión. Ya sabemos que cualquiera estaría dispuesto a entrar en el juego previo pago de 2 €, pero difícilmente el contrincante aceptaría el trato.

Se pueden llegar a ganar cantidades fabulosas de dinero con este juego. Si la primera cara nos sale en la tirada 20 las ganancias son superiores al millón de euros, claro que por otro lado, la probabilidad de que algo así suceda es también inferior a una entre un millón. Las ganancias suben exponencialmente y muy pronto ya no habría dinero en todo el mundo para pagar al jugador.

La sorpresa aparece cuando se calcula el valor esperado en este juego. Calculemos, por ejemplo, el valor esperado si sale cara en la segunda jugada

p(2)·4 = ¼·(4) = 1
en donde p(2) es la probabilidad de sacar cara en la segunda tirada.
En la quinta jugada sería p(5)·16 = 1/16(16) = 1

Es decir, que cualquier valor esperado conduce siempre a la misma cantidad. Por otro lado, está claro que el número de secuencias posibles es infinito, por lo que el valor esperado es la suma de los infinitos términos de la serie 1 + 1 +1 +1 … que es infinito. Luego para participar en el juego basta con invertir una cantidad menor infinito. Este el motivo por el que se conoce a este juego como la paradoja de San Petersburgo.

En definitiva, el juego no es interesante para nadie. Poquísima gente invertiría cantidades que superaran los 1000€, ya que las probabilidades de ganar cantidades inferiores a ésta son muy grandes. Por otro lado ningún casino estaría interesado ante la posibilidad, por pequeña que fuera, de quedar totalmente arruinado frente al pago de un premio desorbitado. Para esta paradoja, que ha sido debatida durante más de 300 años y que ha resultado ser de gran interés para la teoría económica moderna, se han propuesto varias soluciones, la mayoría demasiado complicadas para tratarlas en este contexto. En lo que sí vamos a entrar es en una idea que subyace en la paradoja y que ya fue planteada por el matemático francés D’Alambert en la teoría desarrollada en su obra “La Ley del equilibrio”, en la que conjeturaba un posible equilibrio entre “éxitos” y “fracasos” de ciertos sucesos aleatorios, siempre y cuando la serie de dichos sucesos fuese lo suficientemente larga.

El problema que propone la paradoja de San Petersburgo fue originalmente planteado por Nikolas Bernoulli en 1713. Posteriormente, su sobrino Daniel, que por entonces ejercía como profesor de matemáticas en la Universidad de San Petersburgo, lo estudió y amplió en un comunicado que hizo a la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Este es el motivo por el que se le conoce como la paradoja de San Petersburgo. Es interesante recalcar que la solución planteada por Bernoulli introdujo un concepto nuevo que fue el de “esperanza moral”, que, por supuesto, no hacer eferencia a cuestiones éticas, sino que trata de tener en cuenta, matemáticamente hablando, la subjetividad del jugador en la medida en que ésta pueda alterar el valor del dinero. A pesar de que este concepto llegó a ser muy popular en el siglo XVIII y a principios del XIX (el mismo Laplace  lo trató en su Teoría Analítica de Probabilidades) acabó en el olvido.

Para todos los públicos
A caballo entre el final del bachillerato y el principio de carrera
Para matemáticos adictos a la cafeína.

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