Consideremos un punto fijo P al que llamaremos polo y un radio r que indique la distancia a la que nos encontramos del mismo. Si empezamos a dar vueltas alrededor del polo manteniendo fija la distancia r describiremos una circunferencia, pero si, conforme vamos girando, aumentamos la distancia r, lo que describiremos es una espiral. Cuando la espiral se abre hacia la derecha se dice que es dextrógira y cuando lo hace hacia la izquierda, que es levógira.
En sentido figurado, la ambición de una espiral, en tanto que curva geométrica, es la de ocupar el ma- yor espacio posible en el plano. Las hay que se abren más rápidamente o que lo hacen de una forma regular. En general, cuando una espiral es una curva geométrica, lo cual significa que puede venir dada por una ecuación, está representada por una relación, más o menos compleja, entre dos parámetros, el que indica el ángulo de giro y el que nos dice a qué distancia estamos del polo de la espiral. Por lo tanto, la variedad de posibles espirales es grande, si bien unas con mayor interés geométrico que otras. Existe, sin embargo, otra familia de espirales, que no pueden ser consideradas como curvas geométricas en sentido estricto y que construyen con regla y compás, y que constituyen, en algunos casos, una muy buena aproximación a las espirales geométricas.
La espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes, llamada así porque las espirales de este tipo fueron estudiadas por Arquímedes alrededor del 225 a.C., se caracteriza porque la relación entre el ángulo de giro y el alejamiento del centro es de tipo lineal. En coordenadas polares, su ecuación viene dada por r = aθ, donde r es la distancia respecto del origen o polo, θ, el ángulo de giro y a, una constante. Para el caso en que a = 1, se tiene una espiral en la cual, cuando se ha descrito una vuelta completa, es decir, para θ = 2π, el punto se encuentra a una distancia del origen de r = 2π. Después de dos vueltas, la distancia será igual a 4π y así sucesivamente.
Se trata de una espiral de forma regular en la que se conserva el ancho entre las curvas. Según cuáles sean los valores que adopte el parámetro a se tendrán espirales más anchas o más estrechas. Las espirales de Arquímedes están muy difundidas en el arte, especialmente en el arte clásico, donde aparecen en adornos, dibujos y esculturas. También las colas y las trompas de algunos seres vivos adoptan, cuando están en reposo, la forma de una espiral de Arquímedes. La galaxia en la que habitamos tiene asimismo esa forma; es probable que se trate de la mayor espiral de Arquímedes que podemos observar en la Naturaleza.
Arquímedes llegó, por métodos puramente geométricos, a un curioso resultado en relación al área de la espiral, que resumió del siguiente modo: «El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve».
La espiral de Durero
El alemán Alberto Durero (1471-1528) no fue sólo uno de los principales artistas de su época, sino también un gran aficionado a las matemáticas y un profundo conocedor de la geometría de su tiempo. Sus intereses, siempre encaminados a la expresión artística, le llevaban con frecuencia a aplicar sus amplios conocimientos geométricos a la creación de sus obras. Consciente de la importancia que las espirales tenían en la Naturaleza y de la misteriosa belleza que encierran, creó una espiral, que lleva su nombre, basada en la «divina proporción», es decir, en la razón áurea. Recordemos que el número áureo es Φ = 1,6180339887… y que un rectángulo uno de cuyos lados mide Φ mientras el lado contiguo mide la unidad, se conoce como rectángulo áureo:
Si se divide el lado AB en una sección áurea, de manera que EBFD sea también un rectángulo áureo y así sucesivamente. De esta forma se obtienen rectángulos cada vez más pequeños y encajados cada uno de ellos en el interior del que le precede. Durero tomaba entonces un compás y trazaba el cuarto de círculo que unía los vértices opuestos del primer cuadrado. Luego hacía lo mismo con el siguiente e iba obteniendo los diferentes fragmentos de su espiral.
La espiral equiangular
La espiral más parecida a la de Durero es la llamada espiral equiangular, que sí es, en sentido estricto, una curva matemática y además, una curva con una historia interesante. En la primera mitad del siglo XVII, los matemáticos investigaban el problema de la rectificación de curvas, es decir, la posibilidad de determinar la longitud de una curva entre dos de sus puntos. Mersenne, que había convertido su celda de París en el principal centro de divulgación matemática de Europa, puso en conocimiento de Descartes la existencia de una «curva mecánica» que se había puesto de moda. Las curvas mecánicas eran las que se configuraban mediante el movimiento de un móvil, como por ejemplo la parábola, que se genera al lanzar un cuerpo y dejarlo sometido únicamente a la acción de la gravedad. La gracia del asunto consistía en ser capaz de encontrar la ecuación matemática de una determinada curva mecánica. La que Mersenne presentó a Descartes era la trayectoria que seguía un cuerpo cuando caía por la superficie de una esfera en movimiento. Descartes encontró la ecuación. Se trataba de una espiral que obedecía a la fórmula
$$r=ae^{b\theta }$$
en donde a y b son constantes y e es el número e = 2,71828182…; r, el radio de posición de un punto y theta, el ángulo de giro. Se trata de un tipo de espiral muy diferente a la espiral de Arquímedes, ya que, a medida que va girando alrededor del polo, la curva se aleja de éste exponencialmente. En el aspecto visual es una espiral que se abre con gran rapidez. Los ángulos crecen en progresión aritmética mientras que los radios, por su parte, lo hacen en progresión geométrica.
Si hubiese hallado la longitud de la espiral equiangular, Descartes se habría convertido en el primer matemático de la era moderna capaz de conseguir la rectificación de una curva, pero no fue así, pues mantuvo una postura muy rígida al considerar que este tipo de curvas obtenidas mecánicamente no eran curvas geométricas. Aducía también que el arco de curva del cual se quería calcular la longitud sólo tenía un extremo, ya que el otro, el polo u origen, era un punto que nunca se alcanzaba porque la curva se aproximaba a él de forma asintótica. Evangelista Torricelli, que no tenía tantos reparos, calculó su longitud empleando métodos infinitesimales y llegó a un resultado sorprendente: la longitud de la espiral equiangular de ecuación$$r=ae^{b\theta }$$, desde que θ vale cero (en el punto Q), recorriéndola hacia atrás, hasta el origen O, es igual a la de la tangente PQ.
Un caracol geómetra
El Nautilus Pompilius, está considerado un auténtico fósil viviente ya que sus antepasados se remontan a hace 450 millones de años. Se trata de un cefalópodo que habita en una concha revestida de nácar, que puede alcanzar los 18 centímetros de diámetro. Como puede establecer su hábitat a unos seiscientos metros de profundidad, necesita estar preparado para resistir la gran presión que el agua ejerce a estas profundidades, lo cual consigue gracias a la forma geométrica que tiene el desarrollo de la concha. Ésta se halla formada por diferentes cámaras, unidas por medio de tabiques o septos. Durante su crecimiento, cada una de las cámaras aumenta el tamaño con respecto a la anterior, pero sin variar la forma. Además, se pasa de una cámara a otra siguiendo una espiral logarítmica, de tal manera que una vuelta completa está formada por un total de 18 cámaras. Esta disposición es la que le proporciona una resistencia tan alta. Lo curioso es que la espiral es una curva geométrica, en el sentido en que las espirales construidas con regla y compás, como la espiral de Durero, no siguen exactamente la curva de las cámaras, cosa que sí hace con absoluta precisión la espiral logarítmica, lo cual convierte a este cefalópodo en un matemático de primera línea.
Una curiosidad: las espiroquetas, bacterias causantes de enfermedades dentales como la gingivitis y la periodontitis (se van comiendo la encía y cuando acaban con ella, empiezan con el hueso), adoptan la forma de una espiral de Arquímedes, lo que les permite encogerse cuando hay peligro, o sea, cuando el cepillo de dientes se abre paso entre la placa bacteriana y deja entrar oxígeno (las espiroquetas son anaeróbicas).
Nunca hubiera dicho que un caracol podria ser un matemático de primera línea 😉
Interesantísmo y curioso artículo. Gracias
I think the admin of this web page is genuinely working hard in favor of his site, for the reason that here every material is quality based stuff. Edee Jodie Davis
I must say I read a great article with pleasure
I think it is a fluent sharing, I will recommend your site to my friends
I like a very useful article, I like our page and follow it
Very informative blog article.Much thanks again. Fantastic.
I enjoyed reading a very successful article
I think it is a fluent sharing, I will recommend your site to my friends
I feel very lucky to follow your page
I am thinking of visiting your website again Thanks
I love surfing on your pleasant site
I love surfing on your pleasant site
Thanks again for the article. Really Cool.
Thanks for helping me to get new strategies about computer systems. Alli Allen Pirali
jam Renato nga gramshi interesuar qe te ndjek fushen modelingut pres nje pergjigje Idette Cyrill Pember
I think the problem for me is the energistically benchmark focused growth strategies via superior supply chains. Compellingly reintermediate mission-critical potentialities whereas cross functional scenarios. Phosfluorescently re-engineer distributed processes without standardized supply chains. Quickly initiate efficient initiatives without wireless web services. Interactively underwhelm turnkey initiatives before high-payoff relationships. Ardine Earvin Lev
Way cool! Some extremely valid points! I appreciate you writing this post and the rest of the website is very good. Jennica Bronnie Marla
Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil. Lynn Rice Heilman
Very good post. I definitely appreciate this site. Keep writing! Almira Ruy Ligetti
You made some decent points there. I did a search on the subject and found most people will approve with your website. Carolann Miller Daisie
Now I am going to do my breakfast, when having my breakfast coming again to read other news. Liuka Ulysses Daveda
Awesome issues here. I am very satisfied to peer your post. Doll Gustave Dedric
Why people still make use of to read news papers when in this technological globe all is accessible on net?| Carmelita Auberon Alica
We are a bunch of volunteers and starting a new scheme in our community. Your site provided us with useful info to paintings on. You have done a formidable task and our entire community will be thankful to you. Jordan Ly Yate
Great post. I am facing many of these issues as well.. Ysabel Nikos Olcott
I dugg some of you post as I cerebrated they were very helpful handy Elke Sullivan Ralston
Yet another issue is that video games usually are serious anyway with the most important focus on knowing things rather than fun. Although, there is an entertainment part to keep children engaged, each one game is normally designed to focus on a specific set of skills or area, such as math concepts or science. Thanks for your article. Blakelee Eric Bindman
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore e Marie-Ann Dougy Maegan
When someone writes an article he/she keeps the image of a user in his/her mind that how a user ccan knlw it. Catherin Nico Berry
Fusce vulputate eleifend sapien. Vestibulum purus quam, scelerisque ut, mollis sed, nonummy id, metus. Ajay Kevin Anitra
hwQyZ9 Thank you ever so for you blog. Really looking forward to read more. Will read on Ellie Mortie Harms
Do you have a spam problem on this website; I also am a blogger, and I was wondering your situation; we have developed some nice procedures and we are looking to exchange methods with other folks, please shoot me an e-mail if interested. Modestia Remington Buchalter
Muchas gracias por el aporte, a pesar de utilizar el comando no daba con la fecha correcta, saludos!! Rebe Grover Dredi
I visited many sites but the audio quality for audio songs present at this website is really superb. Courtney Gothart Moffat
Love the crisp new look of the portal into your web world. Odella Dom Marchall
Incredible points. Solid arguments. Keep up the good spirit. Ashli Rutter Hibbert
I would like to express my love for your generosity for individuals that require assistance with your theme. Your special commitment to passing the solution up and down has been amazingly invaluable and has constantly made associates just like me to arrive at their objectives. Your own invaluable information entails much to me and substantially more to my office colleagues. Thanks a lot; from everyone of us. Delphine Noach Harding
Nice article. This is really motivating which is definitely what I needed lol Brigitte Pembroke Cale
Great website! I am loving it!! Will be back later to read some more. I am bookmarking your feeds also Charlene Turner Feldt
obviously like your web site but you have to check the spelling on several of your posts. A number of them are rife with spelling problems and I find it very troublesome to tell the truth nevertheless I will certainly come back again. Sibel Darill Ebenezer
Fusce vulputate eleifend sapien. Vestibulum purus quam, scelerisque ut, mollis sed, nonummy id, metus. Jacquette Raff Benedetta
Greetings! Very helpful advice in this particular post! It is the little changes that make the biggest changes. Thanks for sharing! Bess Harry Amii
I think this is among the most vital info for me. And i am glad reading your article. But wanna remark on some general things, The site style is great, the articles is really excellent : D. Good job, cheers Bernice Duncan Latouche
Do you have a spam problem on this site; I also am a blogger, and I was wondering your situation; we have created some nice procedures and we are looking to swap solutions with others, why not shoot me an e-mail if interested. Ruthi Etienne Ofelia
I found out about SocialMeep for the first time when talking to a small business owner about their social media marketing strategy. I decided to give SocialMeep a run for a month on my personal account and see how it went. Carlene Ariel Trelu
I like the helpful info you provide in your articles. I will bookmark your weblog and check again here frequently. I am quite certain I will learn many new stuff right here! Good luck for the next! Sal Forest Ettore
I was studying some of your posts on this website and I believe this web site is real informative! Continue posting. Jaquelyn Kasper Huntingdon
Oh my goodness! Impressive article dude! Thank you so much, However I am experiencing troubles with your RSS. Mil Patin Wing
After looking over a handful of the blog articles on your site, I seriously like your way of blogging. I added it to my bookmark webpage list and will be checking back soon. Take a look at my website as well and let me know how you feel. Donny Paco Clarkin
This is my first time visit at here and i am in fact pleassant to read all at one place. Heidie Fabian Schenck Christal Etienne Zeralda
Greetings, I do think your website could possibly be having browser compatibility problems. Whenever I look at your web site in Safari, it looks fine however when opening in IE, it has some overlapping issues. I simply wanted to provide you with a quick heads up! Other than that, excellent blog! Maurene Harp Fitton
Did Icarito get his stallion from the Peoria biker gang? Eddi Kevin Brenn
Hi there. I found your website via Google at the same time as looking for a comparable subject, your web site got here up. It appears to be great. I have bookmarked it in my google bookmarks to visit then. Blaire Tremaine Ule
Insya Allah bosquuu semoga masih ada umur dan sehat wal afiat, panjang umur, sehat ,banyak amal keluarga sejahtera, istri solehah anak-anak berbaki dan banyak temen baik hahahhaha lengkaplah, Myranda Guntar Arne
Highly energetic blog, I enjoyed that bit. Will there be a part 2? Ashil Chic Chaffee
Some genuinely nice and utilitarian information on this site, likewise I conceive the style holds fantastic features. Ethelin Hamid Holzman
I in addition to my guys were found to be digesting the good tips located on your website then all of the sudden got a horrible feeling I had not expressed respect to the site owner for them. Those men had been for that reason happy to study all of them and now have seriously been having fun with them. I appreciate you for really being very helpful and then for utilizing some impressive guides millions of individuals are really wanting to know about. My honest regret for not saying thanks to sooner. Benetta Abdel Mungovan
Excellent article. I am experiencing a few of these issues as well.. Caro Sammie Mistrot
really good message, i definitely like this web site, keep it Lyndsie Townsend Chantal
Its like you read my mind! You appear to know a lot about this, like you wrote the book in it or something. I think that you could do with some pics to drive the message home a little bit, but other than that, this is excellent blog. An excellent read. I will definitely be back. Aili Falito Dinnie
La verdad muy mala la compre y no sirvio mas que una carga la cargue con el usb me pone que esta al 100% pero al poco tiempo de cargar el celular queda sin pila y apenas si lo carga un 20% no he probado por medio del solar porque dicen que no se debe de dejar expuesta tanto tiempo pero ya lo hare aunque no creo que eso ayude tanto. Cornelia Justin Beitch
We are a group of volunteers and opening a new scheme in our community. Ailey Alexander Sarkaria
Hello, Neat post. There is an issue along with your web site in internet explorer, may check this? Olva Reider Lavena
Hello there. I found your website by the use of Google while looking for a similar topic, your website came up. It appears to be great. I have bookmarked it in my google bookmarks to come back then. Betty Garrot Aubigny
For newest news you have to pay a quick visit world wide web and on internet I found this web page as a most excellent web page for newest updates. Stormy Barret Lisetta
instagram hizmetleri sektorunde kaliteli instagram begeni satin almayi politika edinmis sitemiz uzerinden guvenli bir sekilde instagram begeni satin al