Espirales

Consideremos un punto fijo P al que llamaremos polo y un radio r que indique la distancia a la que nos encontramos del mismo. Si empezamos a dar vueltas alrededor del polo manteniendo fija la distancia r describiremos una circunferencia, pero si, conforme vamos girando, aumentamos la distancia r, lo que describiremos es una espiral. Cuando la espiral se abre hacia la derecha se dice que es dextrógira y cuando lo hace hacia la izquierda, que es levógira.

En sentido figurado, la ambición de una espiral, en tanto que curva geométrica, es la de ocupar el ma- yor espacio posible en el plano. Las hay que se abren más rápidamente o que lo hacen de una forma regular. En general, cuando una espiral es una curva geométrica, lo cual significa que puede venir dada por una ecuación, está representada por una relación, más o menos compleja, entre dos parámetros, el que indica el ángulo de giro y el que nos dice a qué distancia estamos del polo de la espiral. Por lo tanto, la variedad de posibles espirales es grande, si bien unas con mayor interés geométrico que otras. Existe, sin embargo, otra familia de espirales, que no pueden ser consideradas como curvas geométricas en sentido estricto y que construyen con regla y compás, y que constituyen, en algunos casos, una muy buena aproximación a las espirales geométricas.

La espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes, llamada así porque las espirales de este tipo fueron estudiadas por Arquímedes alrededor del 225 a.C., se caracteriza porque la relación entre el ángulo de giro y el alejamiento del centro es de tipo lineal. En coordenadas polares, su ecuación viene dada por r = aθ, donde r es la distancia respecto del origen o polo, θ, el ángulo de giro y a, una constante. Para el caso en que a = 1, se tiene una espiral en la cual, cuando se ha descrito una vuelta completa, es decir, para θ = 2π, el punto se encuentra a una distancia del origen de r = 2π. Después de dos vueltas, la distancia será igual a 4π y así sucesivamente. 

Se trata de una espiral de forma regular en la que se conserva el ancho entre las curvas. Según cuáles sean los valores que adopte el parámetro a se tendrán espirales más anchas o más estrechas. Las espirales de Arquímedes están muy difundidas en el arte, especialmente en el arte clásico, donde aparecen en adornos, dibujos y esculturas. También las colas y las trompas de algunos seres vivos adoptan, cuando están en reposo, la forma de una espiral de Arquímedes. La galaxia en la que habitamos tiene asimismo esa forma; es probable que se trate de la mayor espiral de Arquímedes que podemos observar en la Naturaleza.

Arquímedes llegó, por métodos puramente geométricos, a un curioso resultado en relación al área de la espiral, que resumió del siguiente modo: «El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve».

La espiral de Durero

El alemán Alberto Durero (1471-1528) no fue sólo uno de los principales artistas de su época, sino también un gran aficionado a las matemáticas y un profundo conocedor de la geometría de su tiempo. Sus intereses, siempre encaminados a la expresión artística, le llevaban con frecuencia a aplicar sus amplios conocimientos geométricos a la creación de sus obras. Consciente de la importancia que las espirales tenían en la Naturaleza y de la misteriosa belleza que encierran, creó una espiral, que lleva su nombre, basada en la «divina proporción», es decir, en la razón áurea. Recordemos que el número áureo es Φ = 1,6180339887… y que un rectángulo uno de cuyos lados mide Φ mientras el lado contiguo mide la unidad, se conoce como rectángulo áureo:

Si se divide el lado AB en una sección áurea, de manera que EBFD sea también un rectángulo áureo y así sucesivamente. De esta forma se obtienen rectángulos cada vez más pequeños y encajados cada uno de ellos en el interior del que le precede. Durero tomaba entonces un compás y trazaba el cuarto de círculo que unía los vértices opuestos del primer cuadrado. Luego hacía lo mismo con el siguiente e iba obteniendo los diferentes fragmentos de su espiral.

La espiral equiangular

La espiral más parecida a la de Durero es la llamada espiral equiangular, que sí es, en sentido estricto, una curva matemática y además, una curva con una historia interesante. En la primera mitad del siglo XVII, los matemáticos investigaban el problema de la rectificación de curvas, es decir, la posibilidad de determinar la longitud de una curva entre dos de sus puntos. Mersenne, que había convertido su celda de París en el principal centro de divulgación matemática de Europa, puso en conocimiento de Descartes la existencia de una «curva mecánica» que se había puesto de moda. Las curvas mecánicas eran las que se configuraban mediante el movimiento de un móvil, como por ejemplo la parábola, que se genera al lanzar un cuerpo y dejarlo sometido únicamente a la acción de la gravedad. La gracia del asunto consistía en ser capaz de encontrar la ecuación matemática de una determinada curva mecánica. La que Mersenne presentó a Descartes era la trayectoria que seguía un cuerpo cuando caía por la superficie de una esfera en movimiento. Descartes encontró la ecuación. Se trataba de una espiral que obedecía a la fórmula

$$r=ae^{b\theta }$$

en donde a y b son constantes y e es el número   e = 2,71828182…; r, el radio de posición de un punto y theta, el ángulo de giro. Se trata de un tipo de espiral muy diferente a la espiral de Arquímedes, ya que, a medida que va girando alrededor del polo, la curva se aleja de éste exponencialmente. En el aspecto visual es una espiral que se abre con gran rapidez. Los ángulos crecen en progresión aritmética mientras que los radios, por su parte, lo hacen en progresión geométrica.

Si hubiese hallado la longitud de la espiral equiangular, Descartes se habría convertido en el primer matemático de la era moderna capaz de conseguir la rectificación de una curva, pero no fue así, pues mantuvo una postura muy rígida al considerar que este tipo de curvas obtenidas mecánicamente no eran curvas geométricas. Aducía también que el arco de curva del cual se quería calcular la longitud sólo tenía un extremo, ya que el otro, el polo u origen, era un punto que nunca se alcanzaba porque la curva se aproximaba a él de forma asintótica. Evangelista Torricelli, que no tenía tantos reparos, calculó su longitud empleando métodos infinitesimales y llegó a un resultado sorprendente: la longitud de la espiral equiangular de ecuación$$r=ae^{b\theta }$$, desde que θ vale cero (en el punto Q), recorriéndola hacia atrás, hasta el origen O, es igual a la de la tangente PQ.

Un caracol geómetra

El Nautilus Pompilius, está considerado un auténtico fósil viviente ya que sus antepasados se remontan a hace 450 millones de años. Se trata de un cefalópodo que habita en una concha revestida de nácar, que puede alcanzar los 18 centímetros de diámetro. Como puede establecer su hábitat a unos seiscientos metros de profundidad, necesita estar preparado para resistir la gran presión que el agua ejerce a estas profundidades, lo cual consigue gracias a la forma geométrica que tiene el desarrollo de la concha. Ésta se halla formada por diferentes cámaras, unidas por medio de tabiques o septos. Durante su crecimiento, cada una de las cámaras aumenta el tamaño con respecto a la anterior, pero sin variar la forma. Además, se pasa de una cámara a otra siguiendo una espiral logarítmica, de tal manera que una vuelta completa está formada por un total de 18 cámaras. Esta disposición es la que le proporciona una resistencia tan alta. Lo curioso es que la espiral es una curva geométrica, en el sentido en que las espirales construidas con regla y compás, como la espiral de Durero, no siguen exactamente la curva de las cámaras, cosa que sí hace con absoluta precisión la espiral logarítmica, lo cual convierte a este cefalópodo en un matemático de primera línea.

Una curiosidad: las espiroquetas, bacterias causantes de enfermedades dentales como la gingivitis y la periodontitis (se van comiendo la encía y cuando acaban con ella, empiezan con el hueso), adoptan la forma de una espiral de Arquímedes, lo que les permite encogerse cuando hay peligro, o sea, cuando el cepillo de dientes se abre paso entre la placa bacteriana y deja entrar oxígeno (las espiroquetas son anaeróbicas).