Atractores y huracanes

En las llamadas Ciencias Exactas (Física y Matemáticas) predecir significa disponer de una ecuación, en la que intervienen un número determinado de parámetros que definen el estado de un sistema, y resolverla; si la solución es una ecuación que es función del tiempo t, podremos saber cual será el estado del sistema en un momento dado, sin más que asignarle un determinado valor a t. De esta manera, partiendo de unas condiciones iniciales sabremos qué va a suceder al cabo de un segundo, una hora o doscientos millones de años.

La ciencia actual posee técnicas sobradas para saber, por ejemplo, el lugar y el momento exactos en que tendrá lugar un eclipse de Sol dentro de dos mil años, pero se ve incapacitada para predecir si lloverá en una determinada región la semana próxima. Esto es debido a que la climatología se mueve dentro de los llamados sistemas caóticos.

Ecuaciones difíciles

El tratamiento físico-matemático que se requiere para abordar el problema del tiempo atmosférico es complejo y difícil. El área de la física que se ocupa de la climatología es fundamentalmente la hidrodinámica de fluidos y su herramienta matemática básica la constituyen un tipo de ecuaciones que reciben el nombre de “ecuaciones diferenciales en derivadas parciales”. Las hay más fáciles y más difíciles, pero las que se aplican a este tipo de problemas, una pequeña variante de las llamadas “ecuaciones de Navier-Stokes”, no han podido ser resueltas todavía.

Sin embargo, toda ecuación se puede resolver de dos maneras: mediante un algoritmo, es decir, un método que la resuelva de forma general, o “a lo bestia”, es decir mediante la fuerza bruta, que consiste en ir probando soluciones numéricas hasta dar con la buena. En los últimos tiempos, esta última opción se ha convertido en una alternativa válida gracias a la enorme velocidad de los actuales procesadores matemáticos.

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Supongamos que tenemos un programa de ordenador capaz de resolver una complicada ecuación, de forma que cuando introducimos un valor x podemos conocer cual es el valor de dicha variable al cabo de un cierto tiempo t (podría tratarse de la temperatura, la presión atmosférica o el caudal de agua registrado en una determinada zona). Nuestros cálculos en el ordenador nos dicen, por ejemplo, que si empezamos con un valor de 1, 236497 , al cabo de 1 segundo este valor se convierte en 80 y al cabo de una semana en 120. Como lo que estamos haciendo es un cálculo numérico, se puede esperar que una aproximación hasta la cuarta o quinta cifra decimal será más que suficiente. Lo comprobamos y observamos que 1, 2365 sigue dando 80 al cabo de un segundo y 119,99 al cabo de una semana. Hasta aquí todo parece normal. Lo que estaría fuera de toda previsión sería que trabajáramos con un sistema en el que los resultados fueran 80 al cabo de un segundo y 500 al cabo de una semana. Es decir, que una variación tan pequeña en el dato de entrada llegara a producir una desviación tan grande a largo plazo. Esto es lo que sucede en los llamados sistemas caóticos y con lo que Edward Lorenz, un matemático puro que, por los avatares del destino acabó trabajando como meteorólogo, se encontró, a principios de los años 60, cuando intentaba plantear un método matemático que le permitiera resolver el problema de la predicción del tiempo.

El efecto mariposa

Lorenz se dio cuenta enseguida de que, debido a la naturaleza caótica del sistema, nunca sería posible hacer predicciones del tiempo a largo plazo. Son muchas las variables que intervienen en las condiciones iniciales y por mucha precisión que se alcance en los aparatos de medición es imposible que no exista una mínima diferencia en los decimales que se introducen en el programa y las consecuencias de este error a largo plazo son impredecibles. Esta característica Lorenz la dramatizó diciendo que el efecto que podía tener el batir de las alas de mariposa en un punto del globo terrestre, podría traer como consecuencia que se desencadenara un huracán en el otro extremo del mundo, exagerando así el imprevisible efecto que puede desencadenar a largo plazo una ínfima variación en las condiciones iniciales.

El atractor, un cazamariposas

Lorenz “jugó” con el ordenador y representó gráficamente el resultado de introducir ciertos valores para las variables. Se encontró con un fascinante dibujo que, curiosamente, se asemejaba las alas de una mariposa.

El ordenador con el que Lorenz llevó a cabo sus investigaciones, un Royal McBee LGP-300, era de válvulas y 100 veces más lento que cualquiera de los PC’s que hay hoy en día en la mayoría de las casas. En un principio, y no dando crédito a los resultados que obtenía, Lorenz creyó que su ordenador se había estropeado.

En realidad, había descubierto lo que actualmente se denomina un atractor. A pesar de que las trayectorias del sistema sigan obedeciendo a su naturaleza caótica, tienen tendencia a quedar configuradas en el interior del atractor. El atractor de Lorenz es en realidad una figura más compleja de lo que aparenta a primera vista: se trata de un objeto fractal (de dimensión 2,05) formado por un número infinito de superficies, es decir de área infinita pero con volumen nulo.

En líneas generales, este tipo de sistemas dinámicos de naturaleza caótica pueden poseer más de un atractor. Pequeñas variaciones, como el batir de las alas de una mariposa, no significan necesariamente un cambio de atractor. Sin embargo, hay alteraciones de las condiciones iniciales que pueden tener como consecuencia que el sistema pase de un atractor a otro, lo que se traduce en lo que actualmente llamamos un cambio climático.

Actualmente, mediante modelos computacionales, se llevan a cabo predicciones del tiempo precisas en plazos que alcanzan de las 8 hasta las diez horas. Aunque en algunos casos se pueden hacer con un margen de hasta 10 días, son frecuentes las circunstancias en las que no se puede predecir con cierta exactitud el tiempo que va a hacer más allá de las 60 horas. Aún así, actualmente la predicción a tres días es tan precisa como la que se tenía hace 20 años para un plazo de 24 horas.

Las ecuaciones de Navier-Stokes, para las que todavía no se ha encontrado una solución, forman parte de una lista de siete problemas establecida por el Clay Mathematics Institute of Cambridge de Massachussets, la solución de cada uno de los cuales está premiada con un millón de dólares.

Azar y determinismo

Existe un error muy difundido que asocia caos, impredecibilidad y azar. No todos los fenómenos que no se pueden predecir se rigen por las leyes del azar. El lanzamiento de un dado es azaroso en la medida en que el dado no tiene “memoria” y, en consecuencia, el número que ha salido en un lanzamiento no tiene ninguna incidencia en el que saldrá en el siguiente, por lo que no podemos predecir nada. En los sistemas dinámicos que estamos tratando aquí el azar no interviene, todo se rige por leyes de causa y efecto, pero la complejidad del sistema y su naturaleza caótica, que no desordenada, nos imposibilita para el Cálculo Predictivo.

Para todos los públicos
A caballo entre el final del bachillerato y el principio de carrera
Para matemáticos adictos a la cafeína.

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