Teoría de colas

Una cola es una línea de espera. La Teoría de Colas, que forma parte de una teoría más amplia, denominada la Investigación Operativa, establece modelos matemáticos para resolver el problema que plantean, en general, las líneas de espera y trata de encontrar una solución de compromiso entre los costes del sistema y los tiempos medios de permanencia de la cola. El pionero en este ámbito fue el matemático danés A. Krarup (1878-1929) que se dedicó a analizar el sistema telefónico de Copenhague para intentar resolver el problema de la congestión de tráfico en las líneas.

El problema de las colas

Vivimos en un mundo en el que una porción más o menos importante del tiempo transcurre en tiempo de espera. Es prácticamente imposible encontrar a alguien, tanto en las sociedades del bienestar, como en países subdesarrollados, que no haya tenido que hacer en algún momento alguna cola. Un estudio realizado en EE.UU. mostró que el ciudadano medio pasa cinco años de su vida esperando en alguna que otra cola, seis meses de los cuales está esperando delante de un semáforo en rojo. A nadie le complace esperar en una cola, especialmente cuando desconoce el tiempo de espera, un intervalo de tiempo que todo el mundo tiene en muy mal concepto, ya que se considera que esperar haciendo una cola es inevitablemente una manera de perder el tiempo. Se trata de un factor psicológico que muchas empresas deben tener en cuenta para su buen funcionamiento. Largas colas frente a los cajeros de un establecimiento pueden ser un elemento disuasorio a la hora de decidirse a hacer una compra. Pero no sólo es el factor psicológico lo que determina la necesidad de resolver el problema planteado por las colas, puesto que hay colas que no están formadas por personas, sino por objetos, como las colas y los posibles atascos que se pueden formar en una cadena de fabricación.

Los modelos

¿Por qué no hay más dependientes atendiendo los cajeros vacíos? o ¿por qué no ponen más cajeros? Son preguntas típicas que nos hacemos cuando esperamos pacientemente con el carro rebosante de productos en una larga cola frente al cajero de un supermercado. El mundo de las colas es muy variopinto. Se pueden formar, y se forman, colas de coches en los peajes de las autopistas, colas de aviones para acceder a la pista de despegue, con las consiguientes colas de viajeros en los mostradores de facturación; colas en los cajeros de las grandes superficies, en los servicios de atención médica y en las llamadas que deben ser atendidas en un parque de bomberos, por mencionar algunos ejemplos. En todos estos casos se pueden plantear situaciones no deseables que vayan desde una ligera incomodidad por parte del usuario hasta la catástrofe total del sistema por el colapso. La Teoría de Colas trata de establecer modelos que sean susceptibles de un posterior tratamiento matemático. Es evidente que, como sucede casi siempre con este tipo de estrategias, se deberá hacer un ajuste entre el modelo y el comportamiento real del sistema.

Modelos de colas

Algunos modelos de colas son muy sencillos y otros requieren la aplicación de teorías matemáticas sumamente complejas. Existen muchos modelos de colas, pero se puede hacer una primera clasificación en dos grandes grupos:

- Cola determinista: aquella de la que se puede dar, a priori, una descripción detallada. Es el modelo más simple y presupone conocidos factores como los intervalos de tiempo de llegada y de espera. Es lo que podríamos llamar una cola sin sorpresas.

- Cola estocástica: una cola que no puede ser descrita sin hacer intervenir las probabilidades. Es un modelo más realista que el anterior. En un día lluvioso, por ejemplo, es más probable que aumenten las colas de gente en las paradas de taxis y que disminuyan en la entrada al zoo.

En la práctica, los modelos se mueven en un amplio abanico entre los extremos descritos por los dos anteriores. En la mayoría de las colas estocásticas se hace necesaria la ayuda de un simulador, es decir de un programa informático capaz de recrear el modelo real, con todas sus componentes probabilísticas, que permita el establecimiento de un modelo comparativo.

Una cola determinista

 

Veamos como son los parámetros que se ponen en juego para el análisis matemático de una cola. En este caso el de una cola determinista de la que vamos a establecer unos supuestos básicos para establecer el esquema de la cola. Tenemos un primer módulo que es el formado por los clientes que llegan. Admitiremos que lo hacen a intervalos de tiempo regulares, lo que simbolizaremos con la letra x. Según esto, los clientes que llegan están separados por intervalos de amplitud x (generalmente x será una medida de tiempo). Tendremos luego un punto de atención al cliente en el que, en este caso, supondremos que se atiende a un solo cliente cada vez, tras el cual habrá una fila de clientes en posición de espera. Entenderemos por cola la fila de espera incluyendo al cliente que en ese momento está siendo atendido. Por último tendremos un módulo que será el formado por los clientes que se marchan y que supondremos separados entre sí por un intervalo de amplitud al que llamaremos y. Estos dos parámetros, x e y, establecen por sí mismos lo que podemos llamar un ritmo de llegada y un ritmo de servicio, que se definen respectivamente como 1/x y 1/y.

Resumiendo, los componentes básicos sobre los que se va a establecer el modelo son la aceptación de un modelo de llegadas: los clientes llegan a intervalos regulares; y de un modelo de servicio: en el momento en que un cliente ha sido atendido el siguiente pasa a ocupar su puesto (esto presupone que el cliente no se demora en acceder al mostrador y que el dependiente no abandona su puesto de trabajo durante el tiempo que dura la cola). Además se acepta que los clientes son atendidos en intervalos de tiempo regulares, que coinciden con lo que hemos llamado y, que es la amplitud que separa entre sí a los clientes que se marchan. Por último, aceptamos que se sigue una disciplina de cola, que se traduce en que siempre es atendido primero el cliente que más tiempo lleva esperando en la cola. Este último supuesto implica, en términos coloquiales, el hecho de que nadie se cuela, algo que, en algunos tipos de cola, está garantizado por un número que se recoge al acceder al recinto de atención, en el que los clientes son llamados por un marcador electrónico. Esto no siempre es así. Puede haber colas en las que exista algún tipo de preferencia, como sucede, por ejemplo, en los servicios de urgencias hospitalarias cuando se presenta un caso que requiere atención inmediata y pasa por delante de los clientes que esperan su turno.

El análisis del modelo

En un modelo como el que hemos descrito en el párrafo anterior se pueden dar tres situaciones diferentes:
1) x < y

Es una situación en la que el ritmo de llegada es superior al ritmo de servicio, es decir que la frecuencia de clientes que salen es menor que la de los que entran. La formación de la cola es inevitable y, teóricamente, es una cola cuya longitud se alarga indefinidamente.
2) x = y

Esto significa que el servicio termina justo cuando llega el siguiente cliente. Si en el momento inicial no hay cola, cada cliente es atendido en el momento de llegar y si inicialmente había una cola (que se podría haber formado momentos antes de abrir el establecimiento) la longitud de la cola se mantendrá constante.
3) x > y

En este caso como la frecuencia del servicio es mayor que la de llegada de clientes la tendencia es a la eliminación de la cola, sea cual sea la situación inicial.

Colas de tráfico

A las teorías matemáticas que tratan el problema general de las colas se les han resistido durante años las colas formadas por el tráfico de vehículos[1]. Su especial, y aparentemente aleatoria, dinámica de retenciones y aceleraciones no ha acabado por ajustarse a ningún modelo conocido, por lo que se han requerido de nuevas modelizaciones, con sus correspondientes técnicas matemáticas. La mayoría de ellas aparecieron en los años 90 y se podrían resumir en tres: un modelo hidrodinámico, otro basado en la Dinámica de Sistemas y un tercero que utiliza simulaciones por ordenador mediante la técnica de Autómatas Celulares. En el primero de estos modelos se aborda la dinámica de un torrente de tráfico con técnicas matemáticas similares a las utilizadas en el estudio de la mecánica de fluidos, basadas fundamentalmente en unas complicadas y difíciles ecuaciones, llamadas de Navier-Stokes. Aunque el fluir de una corriente de agua es continuo, a escalas microscópicas se sabe que está formada por moléculas individuales, lo que permite establecer ciertas semejanzas con el fluir del tráfico y deducir, en determinadas condiciones, algunas pautas de comportamiento que sean válidas para este último. Otra alternativa es el modelo en el que se definen, para cada coche, un par de variables que son su velocidad y la distancia que le separa del vehículo más próximo. Mediante ellas se puede construir lo que se llama un sistema dinámico que permite analizar diferentes estados que se pueden dar, como el de flujo constante, ideal para la conducción; un estado periódico, como sería el de estados alternativos de arranque y parada; o incluso el de estados caóticos, típicos en este tipo de sistemas. La Teoría de los Autómatas Celulares fue concebida originalmente por Ulam y Von Neumann en los años 40 para proporcionar un marco formal a la investigación del comportamiento de sistemas complejos. Se basa en programas informáticos muy sencillos en los que –planteado en términos muy simples– se introducen un número indeterminados de bichos virtuales en la pantalla del ordenador capacitados para ciertas acciones simples, como ir a la derecha o hacia delante, pararse, interactuar con el vecino, etc., y se estudia posteriormente el comportamiento de la colonia. Este planteamiento ha proporcionado resultados interesantes en el estudio del tráfico, ya que los vehículos son bichos que, entre otras cosas nocivas, se dedican a formar colas.

Ley de Harper

En el tema de las colas existen leyes semejantes a las famosas leyes de Murphy y que se llaman leyes de Harper. Las dos más conocidas hacen referencia a las colas de tráfico. La 1ª Ley de Harper afirma que “no importa en que cola se sitúe, siempre hay otra que avanza más rápido”. La 2ª ley de Harper reza que “si te cambias de cola, empezará a circular más rápido aquella en la que estabas antes”.

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