Jean-Victor Poncelet

Aquel joven oficial, cuya extraordinaria fortaleza le había permitido superar pruebas físicas tan duras, se encontraba ahora ante el reto de tener que soportar la presión de un largo e incierto encierro que se prolongaría durante dos años. Como recurso psicológico optó por concentrarse en las teorías matemáticas que había aprendido en la escuela de ingenieros militares de Metz. Carecía de libros y no conseguía recordar ninguno de los pasos de las demostraciones de los teoremas pero, según explicaría años más tarde en sus memorias, sí podía recordar con total nitidez los fundamentos de la geometría que allí había aprendido con un maestro de excepción: Gaspard Monge. Con los restos de carbón que había en las estufas y utilizando las paredes como pizarra empezó a desarrollar una geometría sobre las bases de la geometría descriptiva a la que Monge le había introducido.

Cuando en septiembre de 1814 abandonó la prisión de Saratoff para ser repatriado a París, llevaba consigo el material de siete libros de anotaciones en viejos papeles escritos con tinta de carbón. Un material que le sirvió de fundamento para la obra que sería publicada en 1822 con el título de Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras y que sería el inicio de una de las ramas más importantes en la historia de las Matemáticas: la Geometría Proyectiva. Aquel joven oficial de 24 años, nacido en Metz (Lorena, Francia) el 1 de julio 1788, se llamaba Poncelet.

Vocación y burocracia

Jean-Victor Poncelet llevó a cabo sus estudios de enseñanza secundaria en el Liceo de Metz y entró en la Escuela Politécnica en 1807. Allí fue donde asistió a las clases de Geometría Descriptiva que impartía Monge. De hecho, Metz era una academia militar y la formación de Poncelet fue la de un ingeniero militar, de ahí que participara como oficial en la campaña de Rusia. Muchos biógrafos opinan que su vida como científico estuvo malograda a causa de las numerosas obligaciones burocráticas debidas a su estatus de funcionario y a las que tuvo que dedicarse casi en exclusiva durante los 10 años que pasó en Metz. Tuvo que ocuparse, por ejemplo, de la creación de la escuela de mecánica práctica en Metz y de la reforma de la educación matemática en la Politécnica; también recorrió toda Francia para inspeccionar las hilanderías de algodón, de seda y de lino, y estableció informes sobre fortificaciones para el Comité de Defensa. Es muy probable que el Gobierno francés tuviera dificultades para encontrar a alguien del talento de Poncelet para llevar a cabo todas estas tareas que tenían mucho de rutinarias, pero quizás fue al precio de sacrificar toda una labor de investigación que podía haber dados frutos importantes.

A partir de 1825 tuvo a su cargo la cátedra de mecánica en la École d’Application de Metz. Fue en estos períodos dedicados a la enseñanza en los que pudo desviar su atención hacia diversos campos de investigación, especialmente a mejorar la eficacia de las turbinas y de los molinos de agua. En este sentido, la capacidad creativa de Poncelet se puso también de manifiesto en el ámbito de la ingeniería. En 1826 propuso una mejora en el diseño de turbinas, aplicando sus conocimientos matemáticos de hidrodinámica en el diseño de ruedas que deben girar bajo el agua. En general las turbinas están formadas por ruedas construidas con una serie de palas que hacen que el agua mueva, como en un molino, la rueda de la turbina, para aprovechar así la energía mecánica de la rueda y desplazarse a través del agua o, bien al contrario, utilizar la energía mecánica del agua para, a través de las palas, hacer girar el eje en el que se encuentra la rueda. La mejora de Poncelet se centraba en el diseño de la curva que debían tener las palas. Una solución de compromiso entre la fuerza que hacían dentro del agua y la facilidad para emerger a la superficie. Su diseño supuso un aumento en el rendimiento del 60 %. Aún así la primera de estas turbinas tardó casi 12 años en ser construida.

Poncelet no fue un político, a pesar de que rehusó cualquier forma de servilismo al Segundo Imperio, pero era inevitable que en los diferentes cargos públicos que ocupó tuviera que hacer ciertos equilibrios entre lo político y lo institucional. De hecho, en la primera Exposición Internacional de la historia, celebrada en Londres en 1851, Poncelet fue el presidente de la delegación francesa, cargando con la responsabilidad de todas las exposiciones relativas al desarrollo de la mecánica. La dificultad para balancear los aspectos políticos e institucionales fue quizá uno de los motivos por el que declinó durante tres años el ocupar, como sucesor de Laplace, el puesto que le ofreció la Academia de Ciencias. Desde 1838 hasta 1848 fue profesor en la Facultad de Ciencias de París y desde 1848 hasta 1850 comandó la escuela Politécnica con el rango de general. Murió en la capital francesa el 22 de diciembre de 1867, a la edad de 79 años y en pleno uso de sus facultades mentales.

Poncelet y las cónicas

Empleando el método proyectivo que él había creado, Poncelet demostró dos teoremas importantes sobre cónicas cuyo enunciado es muy sencillo. Supongamos que tenemos una elipse de semiejes a y b y focos F y F’. Por un punto P cualquiera de la misma se traza una tangente. El primer teorema afirma que el producto de los segmentos perpendiculares a la tangente AF y BF’ es constante, sea cual sea el punto P elegido, y además es igual al cuadrado del semieje menor. El segundo teorema afirma que la normal a la tangente es bisectriz del ángulo formado por las recta PF y PF’