Ecuaciones diofánticas y el teorema de Fermat

En general, una ecuación es una igualdad en la que además de números figuran unas letras, llamadas incógnitas, cuyo valor hay que encontrar. Por ejemplo:

es una ecuación que tiene dos incógnitas, la x y la y. Los números que están delante de las incógnitas reciben el nombre de coeficientes. Las letras que representan a las incógnitas pueden estar elevadas a números, llamados exponentes, el más grande de los cuales determina lo que se llama el grado de la ecuación. Una ecuación como

se dice que es de grado tres, ya que éste es el exponente más alto que figura en ella. Aquellas ecuaciones en las que el exponente más alto es la unidad se dice que son lineales. Una ecuación está resuelta cuando se han encontrado valores para las incógnitas que hacen cierta la igualdad entre los dos miembros de la ecuación. Una ecuación como

tiene solución x = 4, ya que si sustituimos x por 4 en la ecuación queda

Ecuaciones las hay, pues, de muchos tipos, con una o con varias incógnitas, de primer grado (lineales), de segundo, tercer grado, etc. Pero el tipo de ecuaciones que nos ocupa aquí no hace referencia a la forma de la ecuación, sino a la naturaleza de sus soluciones.

Soluciones enteras

Se define el conjunto de los números enteros, que se representa con la letra Z, como el formado por la serie natural de los números, 1, 2, 3, … cuando a éstos se les añade el cero y todos los negativos. De manera que los quebrados, cocientes entre números cuya división no es entera, no se consideran números enteros. Por ejemplo, no lo son 1/2, 5/3, etc.

La Teoría de Números es una rama de las Matemáticas que se mueve dentro del ámbito de los números enteros y que, entre otras muchas cosas, se ocupa de la resolución de las ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es, por definición, una ecuación con una o varias incógnitas cuyos coeficientes son todos números enteros y cuyas soluciones son también números enteros.

Por ejemplo, la ecuación

no es una ecuación diofántica, por el simple hecho de que uno de sus coeficientes, el de la x, no es un número entero. La ecuación

a pesar de que tiene sus coeficientes enteros, no es diofántica, porque su solución x = 3/2 no es un número entero (aunque también podríamos decir que es una ecuación diofántica que carece de soluciones). Muchas ecuaciones diofánticas carecen de solución, algunas tienen un número finito de soluciones y otras una infinidad de ellas.

Por ejemplo, la ecuación diofántica

tiene por soluciones

en donde t es un número entero cualquiera. Tiene, por tanto, infinitas soluciones.

El interés que encierra la resolución de una ecuación diofántica está en relación directa con la naturaleza de las incógnitas. Si lo que se plantea en una ecuación concreta hace referencia al volumen de un líquido no importará, en principio, que la solución incluya cantidades fraccionarias; pero si se trata, por ejemplo, del número de personas que pueden asistir a una reunión, está claro que únicamente tendrán sentido las soluciones enteras, ya que carecería de sentido dividir a una persona en trozos.

Ecuaciones difíciles

No todas las ecuaciones diofánticas tienen un método (algoritmo) que permita resolverlas de manera sistemática. Es más, la mayoría no lo tienen. La búsqueda de un método de resolución para ecuaciones concretas ha sido, durante mucho tiempo, objeto de estudio por matemáticos de la talla de Euler o Lagrange, y más recientemente de Minkowski o Chevalley.

La búsqueda de un algoritmo general para la resolución de ecuaciones diofánticas sigue siendo, actualmente, un problema abierto. En la célebre lista de 21 problemas que Hilbert propuso en el congreso de Matemáticas de 1900, éste figura con el número 10. La resolución de este tipo de ecuaciones no tiene un interés meramente matemático. En mecánica cuántica, debido a la naturaleza discreta de sus fenómenos, se presentan con frecuencia este tipo de ecuaciones que requieren de soluciones enteras.

Diofanto

Las ecuaciones diofánticas deben su nombre a Diofanto de Alejandría, matemático griego del que a penas se conoce nada sobre su vida y que, por referencias históricas, se sabe que vivió entre el año 150 a. de C. y el 350 d. de C. Su obra más conocida es la Aritmética, una colección que reúne 130 problemas que se encuentran distribuidos en 13 libros, de los que únicamente se conservan 6. La mayoría de las ecuaciones que se plantean en esta obra son del tipo lineal o cuadrático y en ellas sólo intervienen soluciones positivas y racionales. Actualmente pueden parecernos extraños los tres tipos de ecuaciones de segundo grado que estudiaba Diofanto:

ya que para nosotros se reducirían a una sola ecuación, pero es que en aquella época no existían ni el cero ni los números negativos.

Diofanto fue el primero en introducir símbolos para representar a las cantidades desconocidas y una abreviatura para la palabra igual, en lo que se podría considerar como un inicio del Álgebra Simbólica actual, motivo por el cual se reconoce a Diofanto como al padre del Álgebra.

A Diofanto se atribuyen también otras obras importantes como los Porismas, del que no se conserva ningún ejemplar, y Sobre números poligonales, que ha llegado hasta nuestros días. Pero fue la Aritmética la obra que más influencia tuvo en el desarrollo posterior de la Matemática. Entre las muchas traducciones que se hicieron de ella hay que destacar la de Bachet en 1621, ya que es la edición en la que Fermat hizo su famosa anotación.

Epitafio

“Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto. Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio geométrico, descubre toda su existencia. Dios le permitió ser niño durante 1/6 de su vida; luego de 1/2 sus mejillas se cubrieron de barba; después de 1/7 se encendió la llama del matrimonio, del que, a los cinco años, tuvo un hijo; pero este niño, desgraciado aunque amado apasionadamente, murió apenas llegó a la mitad de la vida alcanzada por su padre, el cuál vivió cuatro años más mitigando su dolor con investigaciones sobre la ciencia de los números”.

Este epitafio, contenido en una antología griega que data del 500 a. de C. compilada por Metrodoro y que contiene una colección de problemas planteados a modo de acertijo, es un testimonio de que Diofanto quiso que su concepción de la Aritmética, en cuanto al planteamiento de problemas, trascendiera a su propia muerte. Como enunciado, plantea la siguiente ecuación: llamemos x al número de años que vivió Diofanto y sigamos, paso a paso, el relato de su epitafio

ecuación que tiene por solución x = 84. Esta edad de 84 años es el único testimonio que se tiene del tiempo que vivió Diofanto.

El Último Teorema de Fermat

Las ecuaciones diofánticas de la forma

son una representación del Teorema de Pitágoras y desde la antigüedad son conocidas tablas de valores enteros que son solución de dicha ecuación. Hay que tener en cuenta que, una vez encontrada una solución x, y, z, también es solución ax, ay, az, siendo a un número entero.

Otra cuestión muy diferente es la que plantea la ecuación del tipo

En este caso, es importante que nadie pierda el tiempo buscando tres números enteros que cumplan esta igualdad, porque no existen. Fermat se dio cuenta de la imposibilidad de resolver este tipo de ecuaciones de forma mucho más general al afirmar que: “Es imposible para un cubo ser la suma de dos cubos, para una cuarta potencia ser la suma de dos cuartas potencias y, en general, para un número elevado a una potencia mayor que dos, ser la suma de dos números elevados a esa misma potencia. He descubierto una sencilla demostración de esa conjetura, pero no tengo espacio para exponerla en este estrecho margen”.

El estrecho margen al que hacía referencia Fermat era el que estaba en la edición de Bechet de la Aritmética de Diofanto. En un golpe de intuición, Fermat había conjeturado la imposibilidad de hallar soluciones positivas enteras para la ecuación diofántica:

para cualquier n mayor que dos (n > 2). Con el tiempo, esto sería conocido como el “Último Teorema de Fermat”, aunque no fuera el último, ni tampoco un teorema, sino una conjetura.

Durante más de trescientos años las mejores cabezas pensantes del saber matemático se emplearon en el intento de demostrar, sin conseguirlo, el teorema más famoso de la historia de las matemáticas. Es una lista muy larga en la que figuran nombres tan ilustres como los de Euler (1707-1783), Dirichlet (1805-1859) y Legendre (1752-1833) Sophie Germain (1776-1831), Lamé (1795-1870), Kummer (1810-1893) o Gerd Faltings (1954-), que en 1986 recibió una Medalla Fields por sus aportaciones en este tema.

La demostración del teorema

“No hay otro problema que pueda justificar lo mismo para mí. Fue la ilusión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto. Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensación de realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda cautivar como lo hizo Fermat”.

Así se expresaba Andrew Wiles, el matemático británico que en octubre de 1994 dio a conocer una demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, último paso fundamental para la demostración del Teorema de Fermat, que al final fue demostrado por reducción al absurdo. Se trata de una demostración extraordinariamente compleja que ocupa más de doscientas páginas y que encaja, como en un puzzle, multitud de resultados anteriores a los que Wiles añadió sus propias piezas. La demostración del último teorema de Fermat tuvo una resonancia en la prensa internacional como nunca antes lo había tenido ningún hallazgo matemático.

Se demostró así la conjetura que un matemático aficionado, jurista de profesión, había planteado hacía cuatrocientos años, mientras reflexionaba sobre un tipo de ecuaciones que, diecisiete siglos atrás, había planteado un matemático griego. Lo sofisticado de la demostración y las modernas técnicas empleadas para ello (el trabajo de Wiles hace uso de áreas completas de las matemáticas de los dos últimos siglos que no existían en tiempos de Fermat), han llevado a cuestionarse si realmente fue cierto que Fermat encontró una “sencilla” demostración que no le cabía en el estrecho margen del libro que estaba leyendo. Actualmente la opinión de la mayoría de expertos es que esa demostración o era falsa, es decir que contenía errores, o nunca existió realmente.

Para muchos, la demostración del Teorema de Fermat ha marcado el final de una época, ya que rompió con un cierto ideal de las Matemáticas. Se trataba de un teorema clásico, de planteamiento muy accesible, para el que se esperaba una demostración también de tintes clásicos. Sin embargo no fue así, el teorema se demostró mediante técnicas tan complejas que, actualmente, muy poca gente las puede abarcar en su totalidad.

Curiosamente, durante todo el tiempo en que Wiles estuvo trabajando en la conjetura de Fermat no recurrió a ningún tipo de programa informático. Ni tan siquiera utilizó una calculadora de bolsillo. Actuó como un matemático puro, de papel y lápiz.

 

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